等分布荷重を受ける単純支持はりのたわみ

2022年7月21日更新

はじめに

等分布荷重を受ける単純支持はりせん断力曲げモーメントおよびたわみをわかりやすく,そして詳細に計算する。

等分布荷重を受ける単純支持はりのたわみ
等分布荷重を受ける単純支持はりのたわみ

目次

検討モデル

等分布荷重による単純支持はり(simply supported beam)のせん断力(shearing force),曲げモーメント(bending moment)およびたわみ(deflection)を検討するモデルを図 1 に示す。

図1 等分布荷重を受ける単純支持はり
図 1 等分布荷重を受ける単純支持はり

支点 A は回転はできるが移動できない回転支点(hinged support),支点 B は回転と共に一方に移動できる移動支点(movable support)とした。

支点 A を $xy$ 座標の原点とし,$x$ については,支点 B 方向を正,$y$ については,鉛直下向きを正とする。また,単純支持はりの長さは $l$ [mm] とする。

単純支持はりに作用する荷重 $w(x)$ は,単純支持はりに一様に分布する $q$ [N/mm] の等分布荷重とする。

用語の説明

曲げ荷重(bending load)
支持されたはりを曲げるように作用する荷重。本稿においては,単純支持はりに作用する等分布荷重をいう。
分布荷重(distributed load)
ある領域に分布して作用する力。本稿においては,単純支持はり全体に等分布している荷重をいう。
たわみ(deflection)
部材が外力などの作用によってわん曲したとき,荷重を受ける前の材軸線と直角方向の変位量。本稿においては,$y$ [mm] で表される。

反力(reaction force)と全荷重のつり合い

単純支持はりの支点 A の反力 $R_A$ [N] と支点 B の反力 $R_B$ [N] の和は,単純支持はりに作用する全荷重 $ql$ [N] とつり合う。

\[ R_A + R_B = ql \]

単純支持はりに作用する荷重は等分布であり,単純支持はりの対称性より支点 A,B における反力 $R_A$ [N] と $R_B$ [N] は等しい。

\[ R_A = R_B = \frac{ql}{2} \]

せん断力(shearing force)と曲げモーメント(曲げモーメント)

等分布荷重を受ける単純支持はりの支点 A から,$x$ の位置で切断したとき,その断面に作用するせん断力 $Q$ [N] と曲げモーメント $M$ [N·mm] のイメージを図 2 に示す。

図2 せん断力と曲げモーメント
図 2 せん断力と曲げモーメント

長さ $x$ [mm] の部分には,大きさ $qx$ [N] の荷重が下向きに作用し,これが右側断面に作用するせん断力 $Q$ [N] とつり合っているので,次式が成り立つ。

\[ Q = R_A - qx = q(\frac{l}{2} - x) \]

一方,長さ $x$ [mm] の部分におけるモーメントのつり合いより,次式が成り立つ。

\[ M = R_A x - qx\frac{x}{2} = \frac{q}{2}x(l-x) \]

$\displaystyle x=\frac{l}{2}$ [mm] の位置で $Q=0$ [N] となり,曲げモーメントは最大となる。このときの曲げモーメント $M_{\text{max}}$ [N·mm] は次式で求められる。

\[ M_{\text{max}} = \frac{q}{2}\frac{l}{2}(l-\frac{l}{2}) = \frac{ql^2}{8} \]

せん断力図(SFD)

$q$ = 1 [N/mm],$l$ = 1 000 [mm] としたときの,せん断力図(SFD:Shearing Force Diagram)を図 3 に示す。等分布荷重を受ける単純支持はりのせん断力は,単純支持はりの左端($x = 0$ [mm])で最大,左端($x = l$ [mm])で最小となり,単純減少する一次関数で表される。なお,単純支持はりの中央部分($\displaystyle x = \frac{l}{2} =$ 500 [mm])でせん断力は 0 となり,正から負に転じている。

等分布荷重を受ける単純支持はりのせん断力図(SFD)
図 3 等分布荷重を受ける単純支持はりのせん断力図(SFD)

曲げモーメント図(BMD)

$q$ = 1 [N/mm],$l$ = 1 000 [mm] としたときの,曲げモーメント図(BMD:Bending Moment Diagram)を図 4 に示す。等分布荷重を受ける単純支持はりの曲げモーメント図は,上に凸の二次関数で表される。単純支持はりの中央部分($x$ = 500 [mm])において,最大曲げモーメント $M_{\text{max}}$ = 125,000 [N·mm] となる。なお,最大曲げモーメントの大きさは,次式で求められる。

\[ M_{\text{max}} = \frac{ql^2}{8} = \frac{1 \times 1000^2}{8} = 125,000 \text{ [N·mm]} \]
等分布荷重を受ける単純支持はりの曲げモーメント図(BMD)
図 4 等分布荷重を受ける単純支持はりの曲げモーメント図(BMD)

たわみ(deflection)

単純支持はりの支点 A から 距離 $x$ [mm] におけるたわみ $y(x)$ に関する微分方程式は,次式で与えられる。この式は,弾性曲線方程式(elastic curve equation)である。

\[ \frac{\text{d}^2 y(x)}{\text{d}x^2} = -\frac{M}{EI_z} = \frac{q}{2EI_z}(x^2-lx) \]

上式の $E$ [N/mm2] は縦弾性係数(modulus of longitudinal elasticity)またはヤング率(Young's modulus),$I_z$ [mm4] ははりの横断面の $z$ 軸に関する断面二次モーメントである。すなわち,この微分方程式は,「たわみの 2 階微分が曲げモーメントを剛性($EI_z$)で割ったものを負にしたものに等しい」ことを意味する。

単純支持はりの場合,はりを固定する支点は変位しないと考えるため,弾性曲線はたわみ曲線(deflection curve equation)と一致する。

たわみ曲線の微分方程式を順次 $x$(断面の位置)で積分し,たわみ $y$ [mm] を求める。

\[ \frac{\text{d}y(x)}{\text{d}x} = \frac{q}{2EI_z}(\frac{1}{3}x^3 - \frac{l}{2}x^2 + C_1) \] \[ y(x) = \frac{q}{2EI_z}(\frac{1}{12}x^4 - \frac{l}{6}x^3 + C_1 x + C_2) \]

ここで,$C_1$,$C_2$ は積分定数であり,はりの境界条件(boundary condition)から決定される。まず,$x = 0$ [mm] において,$y(0) = 0$ [mm] の境界条件より $C_2 = 0$ となる。さらに,$x = l$ [mm] においても,$y(l) = 0$ [mm] の境界条件より $C_1$ を求める。

\[ y(l) = \frac{q}{2EI_z}(\frac{1}{12}l^4 - \frac{l}{6}l^3 + C_1 l) = 0 \] \[ C_1 = \frac{1}{12}l^3 \]

したがって,単純支持はりの支点 A から 距離 $x$ [mm] におけるたわみ $y(x)$ [mm] は次式となる。

\[ y(x) = \frac{q}{24EI_z}(x^4 - 2lx^3 + l^3 x) \]

このようにしてはりのたわみを求める方法を重複積分法(double-integration method)という。

単純支持はりに作用する荷重の対称性より,たわみは $\displaystyle x = \frac{l}{2}$ において最大となる。

\[ y_\text{max} = y(\frac{l}{2}) = \frac{q}{24EI_z}{(\frac{l}{2})^4 - 2l(\frac{l}{2})^3 + l^3 \frac{l}{2}} = \frac{5ql^4}{384EI_z} \]

たわみ曲線(deflection curve)

$q$ = 1 [N/mm],$l$ = 1 000 [mm],$E$ = 200 000 [N/mm2],$I_z$ = 3 000 [mm4] としたときの,たわみ曲線を図 5 に示す。等分布荷重を受ける単純支持はりのたわみ曲線は,上に凸の四次関数で表される。また,たわみの最大値 $y_\text{max}$ は次式のとおり 21.7 [mm] となる。

\[ y_\text{max} = \frac{5ql^4}{384EI_z} = \frac{5 \times 1 \times 1000^4}{384 \times 200,000 \times 3,000} = 21.7 \text{ [mm]} \]
等分布荷重を受ける単純支持はりのたわみ曲線
図 5 等分布荷重を受ける単純支持はりのたわみ曲線

(補足)SFD,BMD,たわみ曲線のグラフ化

本ページに掲載しているせん断力図(SFD),曲げモーメント図(BMD),たわみ曲線は,Octave により描画した。

Octave で,等分布荷重を受ける単純支持はりのせん断力,曲げモーメント,たわみを計算し,SFD,BMD,たわみ曲線をグラフ化するプログラムは,以下のページで紹介している。

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