等分布荷重を受ける単純支持はりのたわみ

2023年6月17日更新

はじめに

等分布荷重を受ける単純支持はりのせん断力，曲げモーメントおよびたわみをわかりやすく，そして詳細に計算する。

検討モデル

等分布荷重による単純支持はり（simply supported beam）のせん断力（shearing force），曲げモーメント（bending moment）およびたわみ（deflection）を検討するモデルを図 1 に示す。

図1 等分布荷重を受ける単純支持はり — 図 1　等分布荷重を受ける単純支持はり

支点 A は回転はできるが移動できない回転支点（hinged support），支点 B は回転と共に一方に移動できる移動支点（movable support）とした。

支点 A を $xy$ 座標の原点とし，$x$ については，支点 B 方向を正，$y$ については，鉛直下向きを正とする。また，単純支持はりの長さは $l$ [mm] とする。

単純支持はりに作用する荷重 $w(x)$ は，単純支持はりに一様に分布する $q$ [N/mm] の等分布荷重とする。

用語の説明

曲げ荷重（bending load）: 支持されたはりを曲げるように作用する荷重。本稿においては，単純支持はりに作用する等分布荷重をいう。
分布荷重（distributed load）: ある領域に分布して作用する力。本稿においては，単純支持はり全体に等分布している荷重をいう。
たわみ（deflection）: 部材が外力などの作用によってわん曲したとき，荷重を受ける前の材軸線と直角方向の変位量。本稿においては，$y$ [mm] で表される。

反力（reaction force）と全荷重のつり合い

単純支持はりの支点 A の反力 $R_A$ [N] と支点 B の反力 $R_B$ [N] の和は，単純支持はりに作用する全荷重 $ql$ [N] とつり合う。

\[ R_A + R_B = ql \]

単純支持はりに作用する荷重は等分布であり，単純支持はりの対称性より支点 A，B における反力 $R_A$ [N] と $R_B$ [N] は等しい。

\[ R_A = R_B = \frac{ql}{2} \]

せん断力（shearing force）と曲げモーメント（曲げモーメント）

等分布荷重を受ける単純支持はりの支点 A から，$x$ の位置で切断したとき，その断面に作用するせん断力 $Q$ [N] と曲げモーメント $M$ [N·mm] のイメージを図 2 に示す。

長さ $x$ [mm] の部分には，大きさ $qx$ [N] の荷重が下向きに作用し，これが右側断面に作用するせん断力 $Q$ [N] とつり合っているので，次式が成り立つ。

\[ Q = R_A - qx = q(\frac{l}{2} - x) \]

一方，長さ $x$ [mm] の部分におけるモーメントのつり合いより，次式が成り立つ。

\[ M = R_A x - qx\frac{x}{2} = \frac{q}{2}x(l-x) \]

$\displaystyle x=\frac{l}{2}$ [mm] の位置で $Q=0$ [N] となり，曲げモーメントは最大となる。このときの曲げモーメント $M_{\text{max}}$ [N·mm] は次式で求められる。

\[ M_{\text{max}} = \frac{q}{2}\frac{l}{2}(l-\frac{l}{2}) = \frac{ql^2}{8} \]

せん断力図（SFD）

$q$ = 1 [N/mm]，$l$ = 1 000 [mm] としたときの，せん断力図（SFD：Shearing Force Diagram）を図 3 に示す。等分布荷重を受ける単純支持はりのせん断力は，単純支持はりの左端（$x = 0$ [mm]）で最大，左端（$x = l$ [mm]）で最小となり，単純減少する一次関数で表される。なお，単純支持はりの中央部分（$\displaystyle x = \frac{l}{2} =$ 500 [mm]）でせん断力は 0 となり，正から負に転じている。

曲げモーメント図（BMD）

$q$ = 1 [N/mm]，$l$ = 1 000 [mm] としたときの，曲げモーメント図（BMD：Bending Moment Diagram）を図 4 に示す。等分布荷重を受ける単純支持はりの曲げモーメント図は，上に凸の二次関数で表される。単純支持はりの中央部分（$x$ = 500 [mm]）において，最大曲げモーメント $M_{\text{max}}$ = 125,000 [N·mm] となる。なお，最大曲げモーメントの大きさは，次式で求められる。

\[ M_{\text{max}} = \frac{ql^2}{8} = \frac{1 \times 1000^2}{8} = 125,000 \text{ [N·mm]} \]

たわみ（deflection）

単純支持はりの支点 A から距離 $x$ [mm] におけるたわみ $y(x)$ に関する微分方程式は，次式で与えられる。この式は，弾性曲線方程式（elastic curve equation）である。

\[ \frac{\text{d}^2 y(x)}{\text{d}x^2} = -\frac{M}{EI_z} = \frac{q}{2EI_z}(x^2-lx) \]

上式の $E$ [N/mm²] は縦弾性係数（modulus of longitudinal elasticity）またはヤング率（Young's modulus），$I_z$ [mm⁴] ははりの横断面の $z$ 軸に関する断面二次モーメントである。すなわち，この微分方程式は，「たわみの 2 階微分が曲げモーメントを剛性（$EI_z$）で割ったものを負にしたものに等しい」ことを意味する。

単純支持はりの場合，はりを固定する支点は変位しないと考えるため，弾性曲線はたわみ曲線（deflection curve equation）と一致する。

たわみ曲線の微分方程式を順次 $x$（断面の位置）で積分し，たわみ $y$ [mm] を求める。

\[ \frac{\text{d}y(x)}{\text{d}x} = \frac{q}{2EI_z}(\frac{1}{3}x^3 - \frac{l}{2}x^2 + C_1) \] \[ y(x) = \frac{q}{2EI_z}(\frac{1}{12}x^4 - \frac{l}{6}x^3 + C_1 x + C_2) \]

ここで，$C_1$，$C_2$ は積分定数であり，はりの境界条件（boundary condition）から決定される。まず，$x = 0$ [mm] において，$y(0) = 0$ [mm] の境界条件より $C_2 = 0$ となる。さらに，$x = l$ [mm] においても，$y(l) = 0$ [mm] の境界条件より $C_1$ を求める。

\[ y(l) = \frac{q}{2EI_z}(\frac{1}{12}l^4 - \frac{l}{6}l^3 + C_1 l) = 0 \] \[ C_1 = \frac{1}{12}l^3 \]

したがって，単純支持はりの支点 A から距離 $x$ [mm] におけるたわみ $y(x)$ [mm] は次式となる。

\[ y(x) = \frac{q}{24EI_z}(x^4 - 2lx^3 + l^3 x) \]

このようにしてはりのたわみを求める方法を重複積分法（double-integration method）という。

単純支持はりに作用する荷重の対称性より，たわみは $\displaystyle x = \frac{l}{2}$ において最大となる。

\[ y_\text{max} = y(\frac{l}{2}) = \frac{q}{24EI_z}{(\frac{l}{2})^4 - 2l(\frac{l}{2})^3 + l^3 \frac{l}{2}} = \frac{5ql^4}{384EI_z} \]

たわみ曲線（deflection curve）

$q$ = 1 [N/mm]，$l$ = 1 000 [mm]，$E$ = 200 000 [N/mm²]，$I_z$ = 3 000 [mm⁴] としたときの，たわみ曲線を図 5 に示す。等分布荷重を受ける単純支持はりのたわみ曲線は，上に凸の四次関数で表される。また，たわみの最大値 $y_\text{max}$ は次式のとおり 21.7 [mm] となる。

\[ y_\text{max} = \frac{5ql^4}{384EI_z} = \frac{5 \times 1 \times 1000^4}{384 \times 200,000 \times 3,000} = 21.7 \text{ [mm]} \]

（補足）SFD，BMD，たわみ曲線のグラフ化

本ページに掲載しているせん断力図（SFD），曲げモーメント図（BMD），たわみ曲線は，Octave により描画した。

Octave で，等分布荷重を受ける単純支持はりのせん断力，曲げモーメント，たわみを計算し，SFD，BMD，たわみ曲線をグラフ化するプログラムは，以下のページで紹介している。

等分布荷重を受ける単純支持はりの SFD，BMD，たわみ曲線の計算・グラフ化【Masassiah Blog】