等分布荷重を受ける片持はりのたわみ

2022年7月21日更新

はじめに

等分布荷重を受ける片持ちはりせん断力曲げモーメントおよびたわみをわかりやすく,そして詳細に計算する。

等分布荷重を受ける片持はりのたわみ
等分布荷重を受ける片持はりのたわみ

目次

検討モデル

等分布荷重を受ける片持はり(cantilever)のせん断力(shearing force),曲げモーメント(bending moment)およびたわみ(deflection)を検討するモデルを図 1 に示す。片持はりは,回転も移動もできない固定支点(fixed support)で支持される。

図1 等分布荷重を受ける片持はり
図 1 等分布荷重を受ける片持はり

はりの先端 を $xy$ 座標の原点とし,$x$ については,固定支持方向を正,$y$ については,鉛直下向きを正とする。また,はりの長さは $l$ とする。

想定する荷重 $w(x)$ は,単位長さ当たり $q$ の等分布荷重とする。

用語の説明

曲げ荷重(bending load)
支持されたはりを曲げるように作用する荷重
分布荷重(distributed load)
ある領域に分布して作用する力
たわみ(deflection)
部材が外力などの作用によってわん曲したとき,荷重を受ける前の材軸線と直角方向の変位量

せん断力(shearing force)

はりを先端から $x$ の位置で切断すると,長さ $x$ の部分には図 1 に示すように大きさ $qx$ の荷重が下向きに作用し,これが右側断面に作用するせん断力 $Q$ とつり合っている。

\[ Q = - qx \]

最大せん断力 $Q_{\text{max}}$ は固定端($x = l$)で生じ,その大きさは次式で求められる。

\[ Q_{\text{max}} = -ql \]

せん断力図(SFD)

$q$ = 0.1 [N/mm],$l$ = 1,000 [mm] としたときのせん断力図(SFD:Shearing Force Diagram)を図 2 に示す。等分布荷重を受ける片持ちはりのせん断力は,単純減少する一次関数で表される。最大せん断力 $Q_{\text{max}}$ は固定端($x = l$)で生じ,その大きさは -100 [N] となる。

\[ Q_{\text{max}} = -ql = -0.1 \times 1,000 = -100 \text{ [N]} \]
等分布荷重を受ける片持はりのせん断力図(SFD)
図 2 等分布荷重を受ける片持はりのせん断力図(SFD)

曲げモーメント(bending moment)

はりを先端から $x$ の位置で切断すると,曲げモーメントについては,図 1 に示すように微小長さ $d\xi$ に作用する大きさ $q \cdot d\xi$ の荷重の点 O に関する曲げモーメントは $q \cdot d\xi \cdot \xi$ であり,これを長さ $x$ について積分したものが,右側断面に作用する曲げモーメント $M$ とつり合っている。

\[ M = \int^x_0 q \cdot d\xi \cdot \xi = -\frac{q}{2}x^2 \]

最大曲げモーメント $M_{\text{max}}$ は固定端($x = l$)で生じ,その大きさは次式で求められる。

\[ M_{\text{max}} = -\frac{ql^2}{2} \]

曲げモーメント図(BMD)

$q$ = 0.1 [N/mm],$l$ = 1,000 [mm] としたときの,曲げモーメント図(BMD:Bending Moment Diagram)を図 3 に示す。等分布荷重を受ける片持ちはりの曲げモーメントは,単純減少する二次関数で表される。最大曲げモーメント $M_{\text{max}}$ は固定端($x = l$)で生じ,その大きさは -50,000 [N·m] である。

\[ M_{\text{max}} = -\frac{ql^2}{2} = -\frac{0.1\times1,000^2}{2}=-50,000 \text{ [N · m]} \]
等分布荷重を受ける片持はりの曲げモーメント図(BMD)
図 3 等分布荷重を受ける片持はりの曲げモーメント図(BMD)

たわみ(deflection)

はりの先端から 距離 $x$ におけるたわみ $y(x)$ に関する微分方程式は,次式で与えられる。この式は,弾性曲線方程式(elastic curve equation)である。

\[ \frac{\text{d}^2 y(x)}{\text{d}x^2} = -\frac{M}{EI_z} = \frac{q}{2EI_z}x^2 \]

ここで,$E$ は縦弾性係数(modulus of longitudinal elasticity)またはヤング率(Young's modulus),$I_z$ ははりの横断面の $z$ 軸に関する断面二次モーメントである。

片持ちはりの場合,はりを固定する支点は変位しないと考えるため,弾性曲線はたわみ曲線(deflection curve equation)と一致する。

たわみ曲線の微分方程式を順次 $x$(断面の位置)で積分し,たわみ $y$ を求める。

\[ \frac{\text{d}y(x)}{\text{d}x} = \frac{q}{2EI_z}(\frac{x^3}{3} + C_1) \] \[ y(x) = \frac{q}{2EI_z}(\frac{x^4}{12} + C_1 x + C_2) \]

ここで,$C_1$,$C_2$ は積分定数であり,はりの境界条件(boundary condition)から決定される。固定端 $x=l$ において, $\text{d}y/\text{d}x=0$ および $y=0$ であるから,これらの境界条件より $C_1$,$C_2$ を求める。

\[ \frac{\text{d}y(l)}{\text{d}x} = \frac{q}{2EI_z}(\frac{l^3}{3} + C_1) = 0 \] \[ C_1 = -\frac{l^3}{3} \] \[ y(l) = \frac{q}{2EI_z}(\frac{l^4}{12} -\frac{l^3}{3}l + C_2) = 0 \] \[ C_2 = \frac{l^4}{4} \]

したがって,距離 $x$ におけるたわみ角 $\theta$ とたわみ $y$ は次式となる。

\[ \theta = \frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{q}{6EI_z}(x^3 - l^3) \] \[ y(x) = \frac{q}{24EI_z}(x^4 -4l^3 x + 3 l^4) \]

このようにしてはりのたわみを求める方法を重複積分法(double-integration method)という。

たわみは,はりの先端($x = 0$)で最大となり,その大きさ $y_\text{max} $ は次式で求められる。

\[ y_\text{max} = y_{\text{max}}=y(0) = \frac{ql^4}{8EI_z} \]

たわみ曲線(deflection curve)

$q$ = 0.1 [N/mm],$l$ = 1,000 [mm],$E$ = 200,000 [N/mm²],$I_z$ = 3,000 [mm4] としたときの,たわみ曲線を図 4 に示す。等分布荷重を受ける片持ちはりのたわみ曲線は,単純減少する四次関数で表される。

等分布荷重を受ける片持はりのたわみ
図 4 等分布荷重を受ける片持はりのたわみ

たわみは,$x = 0$ のとき最大となり,その大きさは 20.8 [mm] である。

\[ y_{\text{max}}=y(0) = \frac{ql^4}{8EI_z}=\frac{0.1\times1,000^4}{8 \times 200,000 \times 3,000} = 20.833 \text{ [mm]} \]

演習問題

等分布荷重を受ける片持ち梁の部材に生じる最大曲げ応力度

図のような等分布荷重 $w$ を受ける長さ $l$ の片持ち梁に断面 $b\times h$ の部材を用いたとき,その部材に生じる最大曲げ応力度を求めよ。ただし,部材の自重は無視するものとする。

等分布荷重を受ける片持ち梁と部材断面
図 等分布荷重を受ける片持ち梁と部材断面

最大曲げモーメントの大きさは,次式となる。

\[ M_\text{max}=\frac{wl^2}{2} \]

断面二次モーメントの大きさは,次式となる。

\[ I_z=\frac{bh^3}{12} \]

曲げ応力(bending stress)は中立面からの距離に比例して大きくなり,上下面でそれぞれ最大の圧縮および引張り応力を生ずる。中立面から上下面までの距離は $h/2$ であるので,最大曲げ応力度 $\sigma_\text{max}$は次式で求められる。

\[ \sigma_\text{max}=\frac{M_\text{max}}{I_z}\frac{h}{2}=\frac{wl^2}{2}\times\frac{12}{bh^3}\times\frac{h}{2}=\frac{3wl^2}{bh^2} \]
演習問題の作成において,令和2年二級建築士試験 学科 Ⅲ(建築構造)No.2 の問題を参考とした。

(補足)SFD,BMD,たわみ曲線のグラフ化

本ページに掲載しているせん断力図(SFD),曲げモーメント図(BMD),たわみ曲線は,Octave により描画した。

Octave で,等分布荷重を受ける片持ちはりのせん断力,曲げモーメント,たわみを計算し,SFD,BMD,たわみ曲線をグラフ化するプログラムは,以下のページに掲載している。

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