平成25年度 第二種 電気主任技術者二次試験 機械・制御

2020年11月29日作成,2021年12月19日更新

目次

  1. 三相誘導電動機の T 形等価回路
  2. 単相変圧器 2 台の V 結線
  3. 逆並列接続されたサイリスタによる単相交流電力調整回路
  4. 制御系

問1 三相誘導電動機の T 形等価回路

400 [V],60 [Hz],4 極の三相誘導電動機がある。二次側諸量を一次側に換算した星形 1 相分の T 形等価回路を図 1 に示す。図中の $s$ は滑り,$V$ は一次電圧(星形相電圧)であり,また,等価回路定数は次のとおりとする。

$r_1=0.2$ [Ω],$x_1=0.5$ [Ω],$x_\text{M}=20$ [Ω]
$r_2=0.1$ [Ω](一次側換算値),$x_2=0.2$ [Ω](一次側換算値)

次の問に答えよ。

(1) 図 1 の T 形等価回路は鳳・テブナンの定理によると,図 2 の回路で表される。

  1. 電動機に線間電圧 400 [V] を印加し,同期速度で回転しているとき,図 1 の端子 A,B 間に現れる電圧 $V_\text{t}$ [V] を求めよ。
  2. 図 1 で一次端子を短絡したとき,端子 A,B から一次側をみた合成インピーダンス $R+\text{j}X$ [Ω] を求めよ。

(2) 図 2 の回路から,始動時に二次回路に流れる電流 $I_2$ [A](一次側換算値)及び始動トルク $T_\text{S}$ [N·m] を求めよ。

三相誘導電動機の T 形等価回路
図 1 三相誘導電動機の T 形等価回路
三相誘導電動機の T 形等価回路(鳳・テブナンの定理で変換後)
図 2 三相誘導電動機の T 形等価回路(鳳・テブナンの定理で変換後)
(1) a. 端子 A,B 間に現れる電圧 $V_\text{t}$ [V]

鳳・テブナンの定理を用いると,図 1 の A,B から左側の部分を図 2 の回路で表すことができる。同期速度で回転しており,滑り $s=0$ であるから,$\displaystyle \frac{r_2}{s}=\infty$ となる。$\displaystyle \frac{r_2}{s}$ には電流が流れないので,$\dot{V_\text{t}}$ は $\text{j}x_\text{M}$ の両端の電圧である。

\[ \dot{V_\text{t}}=\frac{\text{j}x_\text{M}}{r_1+\text{j}(x_1+x_\text{M})}V=\frac{\text{j}20}{0.2+\text{j}20.5}\times\frac{400}{\sqrt{3}}=225.29+\text{j}2.1979 \]

大きさを求める。

\[ |\dot{V_\text{t}}|=\sqrt{225.29^2+2.1979^2}=225.30 \]

よって,端子 A,B 間に現れる電圧 $V_\text{t}$ の大きさは 225 [V] である。

(1) b. 一次端子を短絡したとき,端子 A,B から一次側をみた合成インピーダンス $R+\text{j}X$ [Ω]

一次端子を短絡したとき,端子 A,B から一次側をみた合成インピーダンス $R+\text{j}X$ は,次式で求められる。

\[ R+\text{j}X=\text{j}x_2+\frac{\text{j}x_\text{M}(r_1+\text{j}x_1)}{r_1+\text{j}(x_1+x_\text{M})}=0.19035+\text{j}0.68966\approx 0.190+\text{j}0.690 \]
(2) 始動時に二次回路に流れる電流 $I_2$ [A](一次側換算値)及び始動トルク $T_\text{S}$ [N·m]

始動時に二次回路に流れる電流 $I_2$ は滑り $s=1$ としたときに $\displaystyle \frac{r_2}{s}$ を流れる電流であるから,鳳・テブナンの等価回路より求められる。

\[ \dot{I_2}=\frac{V_\text{t}}{R+r_2+\text{j}X}=\frac{225.30}{0.19035+0.1+\text{j}0.68966}=116.82-\text{j}277.50 \]

大きさを求める。

\[ |\dot{I_2}|=\sqrt{116.82^2+277.50^2}=301.08 \]

始動時に二次回路に流れる電流 $I_2$ は 301 [A](一次側換算値)である。

同期速度は $\omega_0$,極対数を $p$,周波数を $f$ とすれば,次式で求められる。

\[ \omega_0=2\pi\frac{f}{p}=2\pi\frac{60}{2}=188.50 \text{ [rad/s]} \]

始動トルクは,次式で求められる。

\[ T_\text{s}=3\times\frac{r_2{I_2}^2}{\omega_0}=3\times\frac{0.1\times 301.08^2}{188.50}=144.27\approx144 \]

よって,始動トルク $T_\text{S}$ は 144 [N·m] である。

問2 単相変圧器 2 台の V 結線

図のように同一の単相変圧器 2 台を V 結線し,一次側を線間電圧 400 [V] の平衡三相交流電源に接続する。一次巻線と二次巻線の巻数比は 2:1 であり,一次及び二次の漏れリアクタンスはそれぞれ 0.32 [Ω],0.12 [Ω] である。ある三相負荷を二次側に接続すると,三相交流電源には 50 [A] で力率 1 の平衡三相電流が流れた。次の問に答えよ。ただし,励磁電流,鉄損及び巻線抵抗は無視でき,変圧器鉄心は磁気飽和しないものとする。

  1. 無負荷時の二次電圧 $V_\text{2ab}$ [V] を求めよ。
  2. 三相負荷を接続した場合の変圧器二次電流 $I_\text{2a}$ [A] を求めよ。
  3. 一次及び二次の漏れリアクタンスを合成したリアクタンスの二次側換算値 [Ω] を求めよ。
  4. 負荷接続時の変圧器二次電圧 $V_\text{2ab}$ [V] 及び $V_\text{2cb}$ [V] を求めよ。
  5. 2 台の変圧器がそれぞれ負荷に供給する電力 [kW] を求めよ。
同一の単相変圧器 2 台を V 結線
図 同一の単相変圧器 2 台を V 結線
1. 無負荷時の二次電圧 $V_\text{2ab}$ [V]

一次巻線と二次巻線の巻数比は 2:1 であるので,無負荷時の二次電圧 $V_\text{2ab}$ は,次式で求められる。

\[ V_\text{2ab}=\frac{1}{2}V_\text{1ab}=\frac{1}{2}\times 400 =200 \text{ [V]} \]
2. 三相負荷を接続した場合の変圧器二次電流 $I_\text{2a}$ [A]

一次巻線と二次巻線の巻数比は 2:1 であるので,三相負荷を接続した場合の変圧器二次電流 $I_\text{2a}$ は,次式で求められる。

\[ I_\text{2a}=\frac{2}{1}I_\text{1a}=2\times 50 =100 \text{ [A]} \]
3. 一次及び二次の漏れリアクタンスを合成したリアクタンスの二次側換算値 [Ω]

一次漏れリアクタンス $x_1$ を二次側換算する。

\[ x_1 (\frac{1}{2})^2=0.32\times\frac{1}{4}=0.08 \]

一次及び二次の漏れリアクタンスを合成したリアクタンスの二次側換算値は,次式で求められる。

\[ 0.08+0.12=0.20 \text{ [Ω]} \]
4. 負荷接続時の変圧器二次電圧 $V_\text{2ab}$ [V] 及び $V_\text{2cb}$ [V]

漏れリアクタンスに誘起する電圧の大きさは,0.20 × 100 = 20 [V]。一方,変圧器の二次電圧のフェーザは,下図で描ける。

変圧器の二次電圧のフェーザ
図 変圧器の二次電圧のフェーザ

フェーザ図より,次式が成り立つ。

\[ \dot{V_\text{2ab}}=100\sqrt{3}+\text{j}(100-20)=100\sqrt{3}+\text{j}80 \] \[ \dot{V_\text{2cb}}=10\sqrt{3}+\text{j}(200+10)=10\sqrt{3}+\text{j}210 \]

それぞれの大きさを求める。

\[ |\dot{V_\text{2ab}}|=\sqrt{(100\sqrt{3})^2+80^2}=190.78\approx191 \text{ [V]} \] \[ |\dot{V_\text{2cb}}|=\sqrt{(10\sqrt{3})^2+210^2}=210.71\approx210 \text{ [V]} \]
5. 2 台の変圧器がそれぞれ負荷に供給する電力 [kW]

変圧器の二次電流は,それぞれ次式となる。

\[ \dot{I_\text{2a}}=100 \] \[ \dot{I_\text{2c}}=-50+\text{j}50\sqrt{3} \]

2 台の変圧器の有効電力 $P_\text{2ab}$,$P_\text{2cb}$ 及び無効電力 $Q_\text{2ab}$,$Q_\text{2cb}$ は,次式で求められる。

\[ P_\text{2ab}+\text{j}Q_\text{2ab}=\bar{\dot{V_\text{2ab}}}\dot{I_\text{2a}}=(100\sqrt{3}-\text{j}80)\times100=10000\sqrt{3}-\text{j}8000 \] \[ P_\text{2cb}+\text{j}Q_\text{2cb}=\bar{\dot{V_\text{2cb}}}\dot{I_\text{2c}}=(10\sqrt{3}-\text{j}210)\times(-50+\text{j}50\sqrt{3})=10000\sqrt{3}+\text{j}12000 \]

したがって,2 台の変圧器がそれぞれ負荷に供給する電力はいずれも 17.3 [kW] である。

問3 逆並列接続されたサイリスタによる単相交流電力調整回路

図 1 は,逆並列接続されたサイリスタによる単相交流電力調整回路を示す。交流電源の電圧を $v=\sqrt{2}V\sin{\omega t}$ [V],サイリスタ Th1,Th2 の制御遅れ角を $\alpha$ [rad] として,次の問に答えよ。ただし,サイリスタの損失は無視できるものとする。

(1) 横軸を $\omega t$ [rad] とし,電圧 $v$,及び Th1,Th2 に加えられるゲートパルス $G_1$,$G_2$ の波形を示した図 2 と同じ図が答案用紙に印刷されている。これに,負荷が純抵抗 $R$ [Ω] の場合の Th1 に加わる電圧 $v_1$ 及び流れる電流 $i_1$ の波形,並びに負荷電流 $i_\text{L}$ の波形を太線で明確に示せ。

(2) (1) における負荷電流 $i_\text{L}$ の実効値 $I_\text{L}$ [A] を $V$,$R$ 及び $\alpha$ を用いて表せ。ただし,次式を利用してよい。

\[ \int \sin^2 \theta \text{d}\theta=-\frac{1}{4}\sin{2\theta}+\frac{1}{2}\theta+C \]

(3) 負荷が純インダクタンスのリアクトルの場合,リアクトルに印加する電圧の制御が可能な制御遅れ角 $\alpha$ [rad] の範囲を示せ。

(4) 逆並列接続されたサイリスタによる交流電力調整回路の応用例として,三相無効電力補償装置(TCR 式三相 SVC)がある。この装置は,図 3 のように三相交流電源に接続された三相負荷 $L_0$ と並列に設け,固定の進み電流と可変の遅れ電流との合計電流によって無効電力を調整する回路構成である。図 3 と同じ図が答案用紙に印刷されている。これに TCR 式三相 SVC を構成するコンデンサ,リアクトル及びサイリスタの接続図を示せ。

逆並列接続されたサイリスタによる単相交流電力調整回路
図 1 逆並列接続されたサイリスタによる単相交流電力調整回路
純抵抗負荷時のサイリスタの電圧,電流波形,負荷電流波形
図 2 純抵抗負荷時のサイリスタの電圧,電流波形,負荷電流波形
三相無効電力補償装置の回路構成
図 3 三相無効電力補償装置の回路構成

準備中

問4 制御系

図の制御系において,$R(s)$,$E(s)$,$U(s)$ 及び $Y(s)$ は,目標値 $r(t)$,偏差 $e(t)$,操作量 $u(t)$ 及び出力 $y(t)$ をそれぞれラプラス変換したものである。以下では,$K_1 \gt 0$,$K_2 \gt 0$ とする。次の問に答えよ。

制御系
図 制御系

(1) 図の制御対象の伝達関数が $\displaystyle G(s)=\frac{1}{s^2+4}$ で与えられるとき,制御対象の単位インパルス応答を求めよ。

(2) 上記 (1) において,さらに $F(s)=0$,$\displaystyle C_1(s)=K_1(1+\frac{1}{s})$,$C_2(s)=K_2 s$ のとき,$R(s)$ から $E(s)$ までの伝達関数を $K_1$ と $K_2$ を用いて表せ。

(3) 上記 (2) において,図の制御系が安定限界となるとき,$K_1$ と $K_2$ が満たすべき関係を求めよ。また,このとき制御系が示す応答について簡単に述べよ。

(4) 次に,$F(s) \ne 0$ の場合を考える。次の (a) ~ (f) に入る数式を $F(s)$,$C_1(s)$,$C_2(s)$,$G(s)$ を用いてできるだけ簡略化して表せ。

(5) 上記 (4) において,$F(s)=4$,$\displaystyle C_1(s)=K_1(1+\frac{1}{s})$,$C_2(s)=K_2 s$,$\displaystyle G(s)=\frac{1}{s^2+4}$ を代入したとき,ランプ状の目標値 $r(t)=t$ に対する定常偏差を求めよ。

(1) 制御対象の単位インパルス応答

単位インパルス応答 $g(t)$ は次式で求められる。

\[ g(t)=\mathcal{L}^{-1}[\frac{1}{s^2+4}\times 1]=\frac{1}{2}\mathcal{L}^{-1}[\frac{2}{s^2+2^2}]=\frac{1}{2}\sin{2t} \]
(2) $R(s)$ から $E(s)$ までの伝達関数

マイナーループの伝達関数を求める。

\[ P(s)=\frac{\frac{1}{s^2+4}}{1+\frac{K_2 s}{s^2+4}}=\frac{1}{s^2+K_2 s + 4} \]

マイナーループの伝達関数を用いて,$R(s)$ から $E(s)$ までの伝達関数を求める。

\[ \frac{E(s)}{R(s)}=\frac{1}{1+\frac{K_1 s +K_1}{s}\times\frac{1}{s^2+K_2 s +4}}=\frac{s(s^2+K_2 s +4)}{s^3 +K_2 s^2+(K_1 + 4)s+K_1} \]
(3) 制御系の安定限界

制御系が安定であるためには,特性方程式 $s^3 +K_2 s^2+(K_1 + 4)s+K_1 = 0$ の根がすべて左半面にあればよい。ラウスの判別法を適用する。

表 ラウスの判別法
$s^3$ 1 $K_1+4$
$s^2$ $K_2$ $K_1$
$s^1$ $\displaystyle \frac{K_2(K_1+4)-K_1}{K_2}$ 0
$s^0$ $K_1$

安定限界では,$K_1=K_2(K_1+4)$ となる。このとき制御系の応答は持続振動となる。

(4) $F(s) \ne 0$ の場合

制御系の図から,各変数の間に成り立つ関係を記述する。

\[ U(s)=F(s)R(s)+C_1(s)E(s)-C_2(s)G(s)U(s) \] \[ E(s)=R(s)-G(s)U(s) \]

$U(s)$ の式を変形し,$E(s)$ の式に代入する。

\[ U(s)=\frac{F(s)R(s)+C_1(s)E(s)}{1+C_2(s)G(s)} \] \[ E(s)=R(s)-G(s)\times\frac{F(s)R(s)+C_1(s)E(s)}{1+C_2(s)G(s)} \]

上式を整理する。

\[ [1+\frac{C_1(s)G(s)}{1+C_2(s)G(s)}]E(s)=[1-\frac{G(s)F(s)}{1+C_2(s)G(s)}]R(s) \]

したがって,$R(s)$ から $E(s)$ までの伝達関数は次式となる。

\[ \frac{E(s)}{R(s)}=\frac{1+C_2(s)G(s)-F(s)G(s)}{1+C_2(s)G(s)+C_1(s)G(s)} \]
(5) ランプ状の目標値 $r(t)=t$ に対する定常偏差

$R(s)$ から $E(s)$ までの伝達関数に,$F(s)$,$C_1(s)$,$C_2(s)$ 及び $G(s)$ を代入する。

\[ \frac{E(s)}{R{s}}=\frac{1+\frac{K_2 s}{s^2+4}-\frac{4}{s^2+4}}{1+\frac{K_2 s}{s^2 + 4}+\frac{K_1 s + K_1}{s(s^2+4)}}=\frac{s^2(s+K_2)}{s(s^2+4)+K_2 s^2 + K_1 s + K_1} \]

ここで,目標値 $r(t)=t$ のラプラス変換 $\displaystyle \mathcal{L}[t]=\frac{1}{s^2}$ を利用し,最終値の定理を用いる。

\[ e_\text{s}=\lim_{s \rightarrow 0}[s\times\frac{s^2(s+K_2)}{s(s^2+4)+K_2 s^2 + K_1 s + K_1}\times\frac{1}{s^2}]=0 \]
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