令和4年度 第2種 機械・制御
目次
問1 同期発電機
同期発電機に関して，次の問に答えよ。
定格電圧 6 000 V，容量 5 000 kV·A の三相同期発電機がある。無負荷で定格電圧を発生させる界磁電流における三相短絡電流は 300 Ａ であった。この発電機について次の問に答えよ。なお，巻線抵抗は無視し，定格力率は 90 % とする。また，磁気飽和は無視する。
(1) 定格電流 $I_\text{N}$ [A] を求めよ。
(2) 短絡比 $K$ を求めよ。
(3) 基準インピーダンス $Z_\text{N}$ [Ω] を求めよ。
(4) 同期リアクタンス $Z_\text{S}$ [Ω] を求めよ。
(5) 定格状態で運転しているときの電圧変動率 $\epsilon$ [%] を求めよ。
問1 解答と解説
(1) 定格電流 $I_\text{N}$
定格電圧を $V_\text{N}$，定格容量を $S_\text{N} とすると，定格電流 $I_\text{N}$ は，次式で求められる。
\[ I_\text{N} = \frac{S_\text{N}}{\sqrt{3}V_\text{N}}=\frac{5000 \times 10^3}{\sqrt{3} \times 6000} = 481.13 \approx 481 \text{ [A]} \](2) 短絡比 $K$
短絡比 $K$ は定義から，短絡電流 $I_\text{S}$ と定格電流 $I_\text{N}$ の比であり，短絡比 $K$ は，次式で求められる。
\[ K=\frac{I_\text{S}}{I_\text{N}}=\frac{300}{481.13}=0.623 53 \approx 0.624 \](3) 基準インピーダンス $Z_\text{N}$
基準インピーダンス $Z_\text{N}$ は，定格電圧 $V_\text{N}$ と定格電流 $I_\text{N}$ から求められる。
\[ Z_\text{N}=\frac{V_\text{N}}{\sqrt{3}I_\text{N}}=\frac{6000}{\sqrt{3}\times 481.13}=7.199 9 \approx 7.20 \text{ [Ω]} \](4) 同期リアクタンス $Z_\text{S}$
巻線抵抗は無視しているので，同期リアクタンスは同期インピーダンスと等しい。短絡比は同期インピーダンス [p.u.] の逆数なので，同期インピーダンス [Ω] は，基準インピーダンス [Ω] と短絡比から求めることができる。
\[ X_\text{S} \approx Z_\text{S} = \frac{1}{K}\times \frac{V_\text{N}}{\sqrt{3}I_\text{N}}= \frac{1}{0.62353}\times \frac{6000}{\sqrt{3}\times 481.13}=11.547 \approx 11.5 \text{ [Ω]} \](5) 電圧変動率 $\epsilon$
電圧変動率は，次式で定義される。
\[ \epsilon = \frac{V_0 - V_\text{N}}{V_\text{N}} \times 100 \]ここで，$V_0$ は無負荷時の線間電圧，$V_\text{N}$ は運転時の線間電圧である。無負荷時の電圧を求めるため，等価回路よりフェーザ図を描くと次の関係が得られる。
\[ \dot{E}_0 = \frac{V_\text{N}}{\sqrt{3}}+\text{j}X_\text{S}I_\text{N}(\cos{\phi}-\text{j}\sin{\phi}) \]上式より，$\dot{E}_0$ の大きさ $E_0$ は，次式で求められる。
\[ E_0 = \sqrt{(\frac{V_\text{N}}{\sqrt{3}} + X_\text{N}I_\text{N}\sin{\phi})^2+(X_\text{S}I_\text{N}\cos{\phi})^2} \]$\cos{\phi}=0.9$ なので，$\sin{\phi}=\sqrt{1-0.9^2}$ = 0.435 89
\[ E_0 = \sqrt{(\frac{6600}{\sqrt{3}} + 11.547 \times 481.13 \times 0.43589)^2+(11.547 \times 481.13 \times 0.9)^2} = 7722.8 \] \[ \epsilon = \frac{V_0 - V_\text{N}}{V_\text{N}} \times 100 = \frac{\sqrt{3}E_0 - V_\text{N}}{V_\text{N}}\times100 \] \[ \epsilon = \frac{\sqrt{3} \times 7722.8 - 6000}{6000}\times 100 = 122.94 \approx 123 \text{ [%]} \]参考文献
- 目指せ！電気主任技術者～解説ノート～「同期発電機の特性曲線」
問2 三相かご形誘導電動機
定格線間電圧 200 V，定格周波数 50 Hz，4 極の三相かご形誘導電動機がある。この電動機の三相星形結線 1 相分の L 形等価回路の定数を，励磁アドミタンス $\dot{y}_0 = 0.05 - \text{j}0.1$ S，一次巻線抵抗 $r_1 = 0.1$ Ω，一次漏れリアクタンス $x_1 = 0.3$ Ω，二次抵抗の一次換算値 $r'_2 = 0.15$ Ω，二次漏れリアクタンスの一次換算値 $x'_2 = 0.5$ Ω とする。この誘導電動機を定格電圧，定格周波数の三相交流電源に接続して，運転している。そのときの回転速度が 1 455 min-1 である。この電動機について次の値を求めよ。
(1) 電動機の滑り $s$ [%]
(2) 励磁電流 $\dot{I}_0$ [A]
(3) 二次電流の一次換算値 $\dot{I}'_2$ [A]
(4) 銅損 [W]
(5) 電動機の入力電流 $I_1$ [A]
(6) 電動機の入力力率 [%]
問2 解答と解説
(1) 電動機の滑り $s$
同期速度 $n_0$ は，定格周波数と極数より，次式で求められる。
\[ n_0 = \frac{120 \times 50}{4}=1500 \]電動機の滑り $s$ は，次式で求められる。
\[ s = \frac{1500 - 1455}{1500}=0.03 \]よって，電動機の滑り $s$ は 3.0 % である。
(2) 励磁電流 $\dot{I}_0$
励磁電流 $\dot{I}_0$ は，次式で求められる。
\[ \dot{I}_0 = \frac{200}{\sqrt{3}}(0.05 - \text{j}0.1) = 5.773 5 - \text{j}11.547 \approx 5.77 -\text{j}11.5 \text{ [A]} \](3) 二次電流の一次換算値 $\dot{I}'_2$
二次電流の一次換算値 $\dot{I}'_2$ は，次式で求められる。
\[ \dot{I}'_2 = \frac{V_1}{r_1 + \frac{{r_2}'}{s}+\text{j}(x_1 +\text{j}{x_2}')}=\frac{\frac{200}{\sqrt{3}}}{0.1 + \frac{0.15}{0.03}+\text{j}(0.3 + 0.5)}=\frac{\frac{200}{\sqrt{3}}}{5.1 + \text{j}0.8} \] \[ \dot{I}'_2 = 22.097 - \text{j}3.4663 \approx 22.1 - \text{j}3.47 \text{ [A]} \](4) 銅損
銅損は一次銅損 $P_\text{1C}$ と二次銅損 $P_\text{2C}$ の和である。
\[ {I_2}'=\sqrt{22.097^2+3.4663^2}=22.367 \] \[ P_\text{1C} + P_\text{2C} = 3 \times {I_2}'^2 \times (r_1 + {r_2}')=3 \times 22.367^2 \times (0.1 + 0.15) = 375.21 \approx 375 \text{ [W]} \](5) 電動機の入力電流 $I_1$
\[ \dot{I}_1 = \dot{I}_0 + \dot{I}_2' = (5.7735 - \text{j}11.547)+(22.097 - \text{j}3.4663) = 27.871 - \text{j}5.013 \]電動機の入力電流 $I_1$ は，次式で求められる。
\[ I_1 = \sqrt{27.871^2 + 15.013^2} = 31.657 \approx 31.7 \text{ [A]} \](6) 電動機の入力力率
\[ \cos{\phi}=\frac{27.871}{31.657}=0.88041 \approx 88.0 \text{ [%]} \]参考文献
- 目指せ！電気主任技術者～解説ノート～「三相誘導電動機」
問3 三相誘導電動機を駆動する電力変換システム
三相誘導電動機を駆動する電力変換システムに関して，次の問に答えよ。
図 1 は対称三相交流電源，三相ダイオード整流器，直流フィルタ回路，PMW 制御三相電圧形インバータ及び三相誘導電動機からなるシステムを示す。ここで，交流電源は電源インピーダンスが無視でき，パワーデバイス及び回路に損失はないものとする。以下の問に答えよ。
(1) 図 1 において，直流リアクトル DCL に流れる直流電流は一定とすると，直流電流は三相整流電圧平均値となる。三相交流電源は実効値 220 V，50 Hz とすると，直流電圧 $E_\text{d}$ [V] はいくらであるか，数値で答えよ。
(2) 小問 (1) において，誘導電動機を運転したところ，有効電力は 10 kW であった。直流電流 $I_\text{d}$ [A] はいくらであるか，数値で答えよ。
(3) 三相ダイオード整流器は力率 1 で運転している。小問 (1)，(2) において，入力の交流電源電流 $i_\text{a}$ の基本波実効値 $I_\text{a}$ [A] はいくらであるか，数値で答えよ。
次に，図 2 は，図 1 のインバータの PWM 制御で使われている三相正弦波信号波 ${v_\text{u}}^{*}$，${v_\text{v}}^{*}$，${v_\text{w}}^{*}$ とキャリア波 $v_\text{c}$ を示す。キャリア波の周波数は信号波の周波数に対して十分大きいものとする。以下の問に応えよ。
(4) 信号波（振幅 0.9）とキャリア波（振幅 1）が図 2 に示す波形であるときに，直流電圧 $E_\text{d}$ の中点から見たインバータの出力相電圧 $v_\text{u}$ の基本波波高値 $V_\text{up}$ はいくらであるか，数値で答えよ。
(5) 小問 (4) において，インバータの u-v 相出力線間電圧 $u_\text{uv}$ の基本波実効値 $V_\text{uve}$ はいくらであるか，数値で答えよ。
(6) インバータは電動機を可変するために V/f 一定制御をしている。誘導電動機の定格周波数 50 Hz 時に定格電圧を発生するための u 相信号波が図 2 に示す ${v_\text{u}}^{*}$ であり，改めてこのときの信号波を ${v_\text{u50}}^{*}$ と呼ぶ。出力周波数 25 Hz ではどのような u 相信号波 ${v_\text{u25}}^{*}$ とすべきか，信号 ${v_\text{u50}}^{*}$ を 4 周期分書き込んだ図が解答用紙に示してあるので，${v_\text{u25}}^{*}$ の信号の大きさ及び周期が明確に分かるように追記せよ。
問3 解答と解説
(1) 直流電圧 $E_\text{d}$
三相ダイオード整流器で整流した平均電圧は $1.35 V_\text{ab}$ である。
\[ 1.35 V_\text{ab} = 1.35 = 220 = 297 \text{ [V]} \](2) 直流電流 $I_\text{d}$
回路に損失はないものとするので，直流回路の電力は，誘導電動機の有効電力と同じである。有効電力 10 kW を，(1) で求めた平均電圧で除せば，直流電流 $I_\text{d}$ を求めることができる。
\[ I_\text{d} = \frac{10 000}{297} = 33.670 \approx 33.7 \text{ [A]} \](3) 入力の交流電源電流 $i_\text{a}$ の基本波実効値 $I_\text{a}$
パワーデバイス及び回路に損失はないものとするので，交流電源の電力も誘導電動機の有効電力と同じである。したがって，電源インピーダンスを無視できると，三相ダイオード整流器の基本波力率は 1。さらに，電源の交流電圧が正弦波であるので，有効電力となる交流電流は基本波のみであるので，その実効値は，次式で求められる。
\[ \frac{10000}{\sqrt{3} \times 220} = 26.243 \approx 26.2 \text{ [A]} \](4) 基本波波高値 $V_\text{up}$
相電圧の波高値は，次式で求められる。
\[ \frac{E_\text{d}}{2} \times 0.9 = \frac{297}{2} \times 0.9 = 133.65 \approx 134 \text{ [V]} \](5) 基本波実効値 $V_\text{uve}$
線間電圧の実効値は，次式で求められる。
\[ (\frac{E_\text{d}}{2} \times 0.9) \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 133.65 \times \frac{\sqrt{3}}{{2}} = 163.69 \approx 164 \text{ [V]} \](6) 出力周波数 25 Hz における u 相信号波 ${v_\text{u25}}^{*}$
V/f 一定となることが望ましいので，1/2 の周波数のときに 1/2 の大きさの電圧となる。ただし，${v_\text{u25}}^{*}$ と ${v_\text{u50}}^{*}$ の位相の関係は問わない。
参考文献
問4 フィードバック制御系
図に示すフィードバック制御系について，次の問いに答えよ。ただし，$R(s)$ は目標値，$Y(s)$ は制御量，$E(s)$ は制御偏差であり，時間信号 $r(t)$，$y(t)$，$e(t)$ をそれぞれラプラス変換したものである。
(1) フィードバック制御系の特性方程式を求めよ。
(2) フィードバック制御系を安定とする $K$ の条件を求めよ。
(3) 目標値 $R(s)$ から制御偏差 $E(s)$ までの伝達関数 $T_\text{ER}(s)$ を求めよ。
(4) $K=2$ とおく。目標値 $r(t)$ を傾き 2 でランプ変化させたときの定常速度偏差 $e_\text{v}$ を求めよ。
(5) $K=2$ とおく。正弦関数 $2\sin{t}$ で表される目標値 $r(t)$ に対し，定常状態での制御偏差 $e(t)$ は $B\sin(t+\theta)$ で表される正弦関数となった。$B$ の値を求めよ。
問4 解答と解説
(1) フィードバック制御系の特性方程式
フィードバック制御系において，次式が成り立つ。
\[ {R(s)-Y(s)}\frac{K}{s} \times \frac{100}{(s+1)(s+40)} = Y(s) \] \[ {1+\frac{K}{s} \times \frac{100}{(s+1)(s+40)}}Y(s)=\frac{K}{s} \times \frac{100}{(s+1)(s+40)}R(s) \]上式より，フィードバック制御系の特性方程式は，次式となる。
\[ 1+\frac{100K}{s(s+1)(s+40)}=0 \] \[ s(s^2 + 41s + 40) + 100K = 0 \] \[ s^3 + 41s^2 + 40s + 100K = 0 \](2) フィードバック制御系を安定とする $K$ の条件
ラウス・フルビッツの安定判別法を適用する。
| $s^3$ 行 | 1 | 40 |
|---|---|---|
| $s^2$ 行 | 41 | $100K$ |
| $s^1$ 行 | $\displaystyle \frac{1640-100K}{41}$ | 0 |
| $s^0$ 行 | $100K$ |
フィードバック制御系が安定である条件は，次式より $0 \lt K \lt 16.4$ となる。
\[ 100K \gt 0 \] \[ \frac{1640 - 100K}{41} \gt 0 \](3) 伝達関数 $T_\text{ER}(s)$
フィードバック制御系において，次式が成り立つ。
\[ E(s) = R(s) - \frac{K}{s} \times \frac{100}{(s+1)(s+40)}E(s) \]上式を変形し，目標値 $R(s)$ から制御偏差 $E(s)$ までの伝達関数 $T_\text{ER}(s)$ を求める。
\[ T_\text{ER}(s) = \frac{E(s)}{R{s}}=\frac{s(s+1)(s+40)}{s(s+1)(s+40)+100K}=\frac{s^3 + 41s^2 + 40s}{s^3 + 41s^2 + 40s + 100K} \](4) 定常速度偏差 $e_\text{v}$
傾きが 2 のランプ関数 $r(t)=2t$（$t \ge 0$）をラプラス変換すると，$\displaystyle R(s) = \frac{2}{s^2}$ となる。定常速度偏差 $e_\text{v}$ は，$K=2$ とおき，ラプラス変換の最終値の定理を適用し，求める。
\[ e_\text{v} = \lim_{s \to 0}{sE(s)} \] \[ e_\text{v} = \lim_{s \to 0}{(s \times \frac{s(s+1)(s+40)}{s(s+1)(s+40)+200} \times \frac{2}{s^2})} \] \[ e_\text{v} = \lim_{s \to 0}{(\frac{s^2 + 41s + 40}{s^3 + 41s^2 + 40s + 200} \times 2)} = \frac{80}{200} = 0.4 \](5) $B$ の値
(3) で求めた式を変形し，$E(s)$ について整理する。
\[ E(s)=T_\text{ER}(s)R(s)=\frac{s(s+1)(s+40)}{s(s+1)(s+40)+100K}R(s) \]上式は，目標値 $r(t)$ を入力信号，制御偏差 $e(t)$ を出力信号とする伝達関数 $T_\text{ER}(s)$ の関係式である。題意から，入力信号 $r(t)$ は正弦関数なので，出力信号の正弦関数の振幅は入力信号に比べて $|T_\text{ER}(\text{j}\omega)|$ 倍になる。そこで，$s=\text{j}\omega$ とおいた周波数伝達関数 $T_\text{ER}(\text{j}\omega)$ の絶対値を $\omega = 1$ について求める。
\[ T_\text{ER}(\text{j}) = \frac{\text{j}(\text{j}+1)(\text{j}+40)}{\text{j}(\text{j}+1)(\text{j}+40)+200} = \frac{-41+39\text{j}}{159+\text{j}39} \]上式の絶対値を求める。
\[ |T_\text{ER}(\text{j})| = \frac{\sqrt{41^2 + 39^2}}{159^2 + 39^2} = \frac{\sqrt{3202}}{\sqrt{26802}} = 0.345 64 \]題意より入力信号の振幅は 2 であるから，$B = 0.691$ である。
参考文献
- 目指せ！電気主任技術者～解説ノート～「【要点ノート】自動制御及び情報処理【自動制御編】｜目指せ！エネ管 電気分野」