目指せ！エネルギー管理士 電気分野
平成25年度 問題5 自動制御及び情報処理
(1) 外力によって直線運動する機械振動系
質量 $M$ [kg] の物体が，並列接続されたばねとダンパにより，固定された壁につながれており，外力によって直線運動する機械振動系を考える。このシステムは次のような微分方程式で表される。
\[ M \frac{\mathrm{d}^2 x(t)}{\mathrm{d}t^2} + D\frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t} + Kx(t) = f(x) \]ここで，時間 $t$ [s] の関数 $x(t)$ [m] は物体の変位，$f(t)$ [N] は物体にかかる外力を表しており，$D$ [N·s/m] はダンパの制動係数，$K$ [N/m] はばね定数である。また，$x(t)$ と $f(t)$ のラプラス変換を，それぞれ $X(s)$ と $F(s)$ で表す。
1) 式 ① の両辺をラプラス変換し，すべての初期値を 0 とみなすと，
\[ M \times s^2 X(s) + D \times sX(s) +KX(s) = F(s) \]を得る。上式より求められる，$F(s)$ から $X(x)$ までの伝達関数は式 $\displaystyle \frac{1}{Ms^2 + Ds + K}$ となり，これは二次遅れ要素と呼ばれる形をしている。
2) 伝達関数が $\displaystyle \frac{1}{s^2 + 4s + 3}$ の系に，大きさ 1 N のステップ入力を加えると，時間が十分に経ったときの出力は $\displaystyle \frac{1}{3}$ [m] に収束する。また，$\displaystyle \frac{1}{s^2 + 4}$ の系に，同様に大きさ 1 N のステップ入力を加えると，出力応答は持続的に同じ振幅で振動する。
2-1)
時間が十分に経ったときの出力は次式で求められる。
\[ \lim_{t \to \infty} x(t) = \lim_{s \to 0} sX(s) = \lim_{s \to 0} s \cdot \frac{1}{s^2 + 4s + 3} \cdot \frac{1}{s} = \frac{1}{3} \]2-2)
$\displaystyle \frac{1}{s^2 + 4}$ の系に，同様に大きさ 1 N のステップ入力を加えると次式となる。
\[ \frac{1}{s^2 + 4} \cdot \frac{1}{s} = -\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{s^2 + 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{s} \]上式を逆ラプラス変換する。
\[ -\frac{1}{4}\cos{2t} + \frac{1}{4} \]よって，出力応答は持続的に同じ振幅で振動する。
(2) 伝達関数 $G(s)$ の要素を含む制御系
図のように，伝達関数 $G(s)$ の要素を含む制御系がある。ここで，時間 $t$ の関数 $r(t)$ のラプラス変換を $R(s)$ のように表している。この制御系はフィードバック接続といわれ，$R(s)$ から $E(s)$ までの伝達関数は $\displaystyle \frac{1}{1 + G(s)}$ である。$\displaystyle G(s) = \frac{3}{s(s+2)}$ のとき，入力として $r(t)=1$ のステップ入力を加えたときの定常偏差の値は 0 となる。また，入力として $r(t)=t$ のランプ入力を加えたときの定常偏差の値は $\displaystyle \frac{2}{3}$ となる。
ステップ入力を加えたときの定常偏差の値
\[ \lim_{t \to \infty}{e(t)} = \lim_{s \to 0}{sE(s)} = \lim_{s \to 0}{s \cdot \frac{s(s+2)}{s^2+2s+3} \cdot \frac{1}{s}} = 0 \]ランプ入力を加えたときの定常偏差の値
\[
\lim_{t \to \infty}{e(t)} = \lim_{s \to 0}{sE(s)} = \lim_{s \to 0}{s \cdot \frac{s(s+2)}{s^2+2s+3} \cdot \frac{1}{s^2}} = \frac{2}{3}
\]
(3) 省エネルギー性能の基準
近年，普及が進み，長時間スイッチを入れた状態になりがちなコンピュータ，ディスプレイ，プリンタなどの OA 機器のエネルギー消費が問題となっている。これらの OA 機器の消費電力を削減するために生まれた制度として国際エネルギースタープログラムがあり，2013 年 4 月 1 日現在，8 品目が対象となっている。この制度では，製品の各動作モードにおける消費電力などについて，省エネルギー性能の基準が設定されている。
コンピュータを例にとると，コンピュータの動作モードのうち，使用者が実質的作業を実行している状態である稼働状態と，それ以外に次の 1. ～ 3. の動作モードが定められている。
- オペレーティングシステムやその他のソフトウェアの読込みが終了し，ユーザプロファイルが作成され，初期設定によって開始する基本アプリケーションに動作が限定されている状態をアイドル状態という。
- コンピュータが一定時間使用されないときに，自動的に又は手動選択により入る低電力状態をスリープモードという。この機能を有するコンピュータは，ネットワーク接続又はユーザインターフェース装置に反応して，ウェイクイベントの開始からシステムが完全に使用可能になるまで，5 秒以下の待ち時間で素早く復帰できる。
- コンピュータが主電源に接続され，ネットワーク接続の有無など，指定された使用状態で，コンピュータの電源をオフしたときの，不定時間続く可能性のある最低消費電力状態をオフモードという。
デスクトップ型並びにノートブック型の場合は，稼働状態以外の 1. ～ 3. の各動作モードの時間比率を考慮した概念的標準年間消費電力量を，消費電力基準としている。
国際エネルギースタープログラムは，オフィス機器の国際的省エネルギー制度である。製品の稼働，スリープ，オフ時の消費電力などについて，省エネ性能の優れた上位 25 % の製品が適合となるように基準が設定され，この基準を満たす製品に国際エネルギースターロゴの使用が認められる。（出典『国際エネルギースタープログラム』）
(4) コンピュータで用いられる画像データ
コンピュータで用いられる画像データは，画像を細かい領域（画素）に分割し，色や明るさなどの情報を分割された画素単位で，表現したい精度に必要なビット数のデータを割り当てたもので表現される。画像のうち，静止画にはビットマップ形式など各種の画像データの規格やファイル形式がある。
これらのうち，ビットマップ形式は画素の情報を表すデータを画素数分そのまま集めた形式で，一般的には圧縮されずに用いられるので，データ量が多くなる。画素数 1 920 × 1 080 の FHD（Full High Definition）画面で 1 画素当たり 32 ビットのデータ量の場合，バイトの単位を [B] で表すと，総データ量は 8.29 × 106 [B] となる。
ISO で規格化されたカラー静止画像の圧縮方式の一つとして JPEG があり，ビットマップ形式と比較してデータ量が 10 分の 1 から 100 分の 1 程度に圧縮される。
GIF は，モノクロ 256 階調，又はカラー 256 色以下の画像を扱うことができる可逆圧縮形式であり，複数静止画によるアニメーション機能も提供されている。
総データ量は次式で求められる。