目指せ！エネルギー管理士 電気分野
令和3年度 問題10 電気機器
(1) 一次巻線と二次巻線で構成される変圧器の無負荷時の特性
一次巻線と二次巻線で構成される変圧器の無負荷時の特性について考える。
1) 二次巻線が無負荷の状態で一次巻線に交流電圧を加えると，一次巻線に励磁電流が流れる。励磁電流は印加電圧と同相分の鉄損電流，発生する磁束と同相分の磁化電流に分けて考えることができる。後者の電流により生じる交番磁束によって印加電圧と平衡する起電力が生じる。この交番磁束によって誘起される起電力を誘導起電力という。
2) 鉄心の磁化特性は非直線性であり，かつヒステリシス現象があるため，印加電圧が正弦波であっても励磁電流は歪み波形となる。
励磁電流は，それに含まれる鉄損電流が小さいので，印加電圧に対し，ほぼ $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ [rad] 遅れた位相で流れる。一次巻線によって生じた磁束は，二次巻線と鎖交することによって，二次巻線に電圧を誘起し，その電圧値は二次巻線の巻き数に比例する。
(2) 同期電動機
1) 同期電動機は常に同期速度で運転される。三相同期電動機の 1 相分の出力を $P_2$ [W]，同期速度を $n_\text{S}$ [min-1] とすれば，トルク $T$ は，$T$ = $\displaystyle \frac{60}{2\pi n_\text{S}} \times 3P_2$ [N·m] で表される。
無負荷で運転している電動機に負荷をかけると，回転子の磁極の位相が電機子の回転磁束よりも遅れ，回転子磁極軸と回転磁束軸との間に負荷角と呼ばれる角度 $\delta$ [rad] が生じる。$\delta$ によって，回転磁束と磁極との間に吸引力が生じ，これが回転磁束と同方向の電動機トルクを作り，回転子は角度 $\delta$ を維持したまま同期速度で回転を続ける。
2) 同期電動機では，電機子巻線抵抗 $r_\text{a}$ [Ω] が同期リアクタンス $x_\text{S}$ [Ω] に比べて非常に小さいので，$r_\text{a}$ [Ω] を無視して考えると，星形 1 相分の供給電圧 $V$ [V]，電機子巻線 1 相分の誘導起電力を $E$ [V] とすれば，1 相分の出力 $P_2$ は，$P_2$ = $\displaystyle \frac{VE}{x_\text{S}}\sin{\delta}$ [W] で表される。よって，$\delta$ が零より大きくなるに従って電動機トルクも大きくなり，$\delta$ が $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ [rad] のときに最大値 $T_\text{m}$ [N·m] となる。$\delta$ は負荷トルクが大きいほど大きくなるが，負荷トルクが $T_\text{m}$ [N·] を超過すると，電動機トルクはかえって減少し，電動機は同期外れを起こして停止する。
(3) 単相変圧器
定格一次電圧 6 600 V，定格二次電圧 440 V，定格容量 500 kV·A，定格周波数 50 Hz の単相変圧器がある。この変圧器の一次巻線抵抗は 0.4 Ω，二次巻線抵抗は 2.37 mΩ である。この変圧器の二次側を開放して，一次側に定格周波数，定格一次電圧を印加して無負荷試験を行うと，一次側に力率が 0.2 で 0.5 A の電流が流れた。
1) 無負荷試験結果から，無負荷時の全損失は 660 [W] となる。この値には一次巻線抵抗による銅損が含まれているが，全損失に比べ非常に小さいので，無負荷時においては，一次巻線による銅損を含めて無負荷損とする。
2) 各巻線抵抗値，定格電圧値及び定格容量から，定格負荷運転時の一次銅損 $P_\text{c1}$ と二次銅損 $P_\text{c2}$ を合計した負荷損 $P_\text{c} (= P_\text{c1}+P_\text{c2})$ は，5.36 [kW] と算出される。
3) この変圧器を力率 1.0 の定格負荷で運転したときの効率は 98.8 [%] であり，最大効率は 35.1 [%] の負荷で運転したときとなる。
1) 無負荷損
無負荷損 $P_\text{i}$ は，次式で求められる。ただし，定格一次電圧を $V_\text{1N}$，無負荷試験時の力率を $\cos{\theta_\text{i}}$，電流を $I_\text{i}$ とする。
\[ P_\text{i} = V_\text{1N}I_\text{i}\cos{\theta_\text{i}} = 6600 \times 0.5 \times 0.2 = 660 \text{ [W]} \]2) 負荷損
単相変圧器の定格容量を $P$，一次巻線抵抗を $r_1$，定格一次電流を $I_\text{1N}$ とすると，定格負荷運転時の一次銅損 $P_\text{c1}$ は，次式で求められる。
\[ P_\text{c1} = r_1 {I_\text{1N}}^2 = r_1 (\frac{P}{V_\text{1N}})^2 = 0.4 \times (\frac{500 000}{6 600})^2 = 2295.68 \text{ [W]} \]二次巻線抵抗を $r_2$，定格二次電流を $I_\text{2N}$，定格二次電圧を $V_\text{2N}$ とすると，定格負荷運転時の二次銅損 $P_\text{c2}$ は，次式で求められる。
\[ P_\text{c2} = r_2 {I_\text{2N}}^2 = r_2 (\frac{P}{V_\text{2N}})^2 = 2.37 \times 10^{-3} \times (\frac{500 000}{440})^2 = 3060.43 \text{ [W]} \]負荷損 $P_\text{c}$ は，次式で求められる。
\[ P_\text{c} = P_\text{c1} + P_\text{c2} = 2295.68 + 3060.43 = 5356.11 \text{ [W]} \approx 5.36 \text{ [kW]} \]3) 定格負荷で運転したときの効率と最大効率
定格負荷で運転したときの効率 $\eta$ は，次式で求められる。
\[ \eta = \frac{P}{P+P_\text{i}+P_\text{c}}\times100=\frac{500 000}{500 000 + 660 + 5356} \times 100 = 98.81 \approx 98.8 \text{ [%]} \]最大効率となる負荷率 $\alpha$ は，次式で求められる。
\[ \alpha = \sqrt{\frac{P_\text{i}}{P_\text{c}}}\times100 = 35.103 \approx 35.1 \text{ [%]} \]（参考）単相変圧器の負荷率 - 効率特性
単相変圧器（定格容量 500 [kW]，無負荷損 660 [W]，負荷損 5 356 [W]）の負荷率を横軸，効率を縦軸とした特性は，下図となる。負荷率 35.1 [%] で最大効率 99.3 [%]，定格負荷で効率 98.8 [%] となっていることがわかる。
