集中荷重を受ける片持はりのたわみ
はじめに
集中荷重を受ける片持ちはりのせん断力，曲げモーメントおよびたわみをわかりやすく，そして詳細に計算する。
目次
検討モデル
はりの先端に集中荷重（cpmcemtrated load）$P$ を受ける片持はり（cantilever）のせん断力（shearing force），曲げモーメント（bending moment）およびたわみ（deflection）を検討するモデルを図 1 に示す。片持はりでは，回転も移動もできない固定支点（fixed support）で支持される。
はりの先端 を $xy$ 座標の原点とし，$x$ については，固定支持方向を正，$y$ については，鉛直下向きを正とする。また，はりの長さは $l$ とする。
片持ちはりの先端（$x=0$）において，集中荷重 $P$ を想定する。
用語の説明
- 曲げ荷重（bending load）
- 支持されたはりを曲げるように作用する荷重
- 集中荷重（concentrated load）
- 1 点に集中して作用する荷重
- たわみ（deflection）
- 部材が外力などの作用によってわん曲したとき，荷重を受ける前の材軸線と直角方向の変位量
せん断力（shearing force）
はりの先端から $x$ の位置で切断して考えると，その断面には図 1 に示すように，せん断力 $Q$ が内力として作用していると考えられる。このせん断力は，静的なつり合い条件によって次のように与えられる。
\[ Q = - P \]ここで，せん断力の符号については，右側断面で下方に作用する場合を正とし，上方に作用する場合を負と定める。
せん断力図（SFD）
$P$ = 50 [N]，$l$ = 1,000 [mm] としたときの，せん断力図（SFD：Shearing Force Diagram）を図 2 に示す。先端に集中荷重を受ける片持ちはりのせん断力は，-50 [N] で一定となる。
曲げモーメント（bending moment）
はりの先端から $x$ の位置で切断して考えると，その断面には図 1 に示すように，曲げモーメント $M$ が内力として作用していると考えられる。この曲げモーメントの大きさは，静的なつり合い条件によって次のように与えられる。
\[ M = -Px \]最大曲げモーメントは，片持ちはりの支持点（$x=l$）で生じ，その大きさは次式で求められる。
\[ M_\text{max}=-Pl \]曲げモーメント図（BMD）
$P$ = 50 [N]，$l$ = 1,000 [mm] としたときの，曲げモーメント図（BMD：Bending Moment Diagram）を図 3 に示す。先端に集中荷重を受ける片持ちはりの曲げモーメントは，単純減少する一次関数で表される。最大曲げモーメント $M_{\text{max}}$ は，はりの支持点（$x=l$）で生じ，その大きさは -50,000 [N·mm] である。
\[ M_{\text{max}} = -Pl = -50 \times 1,000 = -50,000 \text{ [N·mm]} \]
たわみ（deflection）
はりの先端から 距離 $x$ におけるたわみ $y(x)$ に関する微分方程式は，次式で与えられる。この式は，弾性曲線方程式（elastic curve equation）である。
\[ \frac{\text{d}^2 y(x)}{\text{d}x^2} = -\frac{M}{EI_z} = \frac{P}{EI_z}x \]ここで，$E$ は縦弾性係数（modulus of longitudinal elasticity）またはヤング率（Young's modulus），$I_z$ ははりの横断面の $z$ 軸に関する断面二次モーメントである。すなわち，この微分方程式は，「たわみの 2 階微分が曲げモーメントを剛性（$EI_z$）で割ったものを負にしたものに等しい」ことを意味する。
片持ちはりの場合，はりを固定する支点は変位しないと考えるため，弾性曲線はたわみ曲線（deflection curve equation）と一致する。
たわみ曲線の微分方程式を順次 $x$（断面の位置）で積分し，たわみ $y$ を求める。
\[ \frac{\text{d}y(x)}{\text{d}x} = \frac{P}{EI_z}(\frac{x^2}{2} + C_1) \] \[ y(x) = \frac{P}{EI_z}(\frac{x^3}{6} + C_1 x + C_2) \]ここで，$C_1$，$C_2$ は積分定数であり，はりの境界条件（boundary condition）から決定される。固定端（$x=l$）において，$\text{d}y/\text{d}x=0$ および $y=0$ であるから，これらの境界条件より $C_1$，$C_2$ を求める。
\[ \frac{\text{d}y(l)}{\text{d}x} = \frac{P}{EI_z}(\frac{l^2}{2} + C_1) = 0 \] \[ C_1 = -\frac{l^2}{2} \] \[ y(l) = \frac{P}{EI_z}(\frac{l^3}{6} -\frac{l^2}{2} l + C_2) = 0 \] \[ C_2 = \frac{l^3}{3} \]したがって，距離 $x$ におけるたわみ角 $\theta$ とたわみ $y$ は次式となる。
\[ \theta = \frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{P}{2EI_z}(x^2 - l^2) \] \[ y(x) = \frac{P}{6EI_z}(x^3 -3l^2 x + 2 l^3) \]このようにしてはりのたわみを求める方法を重複積分法（double-integration method）という。
はりの先端（$x=0$）において，たわみは最大となり，その大きさ $y_\text{max}$ は次式で求められる。
\[ y_\text{max} = y(0)=\frac{P}{6EI_z}\times 2 l^3 = \frac{Pl^3}{3EI_z} \]たわみ曲線（deflection curve）
$P$ = 50 [N]，$l$ = 1,000 [mm]，$E$ = 200,000 [N/mm2]，$I_z$ = 3,000 [mm4]としたときの，たわみ曲線を図 4 に示す。先端に集中荷重を受ける片持ちはりのたわみ曲線は，単純減少する三次関数で表される。
たわみは，$x = 0$ のとき最大 $y_{\text{max}}$ となり，その大きさは 27.8 [mm] である。
\[ y_{\text{max}}=y(0) = \frac{Pl^3}{3EI_z}=\frac{50 \times 1,000^3}{3 \times 200,000 \times 3,000} = 27.77 \text{ [mm]} \]（補足）SFD，BMD，たわみ曲線のグラフ化
本ページに掲載しているせん断力図（SFD），曲げモーメント図（BMD），たわみ曲線は，Octave により描画した。
Octave で，集中荷重を受ける片持ちはりのせん断力，曲げモーメント，たわみを計算し，SFD，BMD，たわみ曲線をグラフ化するプログラムは，以下のページに掲載している。