三角形状分布荷重を受ける片持はりのたわみ
はじめに
三角形状分布荷重を受ける片持ちはりのせん断力，曲げモーメントおよびたわみをわかりやすく，そして詳細に計算する。
目次
検討モデル
三角形状に分布する荷重（以下，三角形状分布荷重。線形分布荷重ともいう。）を受ける片持はり（cantilever）のせん断力（shearing force），曲げモーメント（bending force）およびたわみ（deflection）を検討するモデルを図 1 に示す。片持はりでは，回転も移動もできない固定支点（fixed support）で支持される。
はりの先端 を $xy$ 座標の原点とし，$x$ については，固定支持方向を正，$y$ については，鉛直下向きを正とする。また，はりの長さは $l$ とする。
想定する荷重 $q(x)$ は，$q(x)=q_0 \cdot x/l$ の三角形状分布荷重とする。
用語の説明
- 曲げ荷重（bending load）
- 支持されたはりを曲げるように作用する荷重
- 分布荷重（distributed load）
- ある領域に分布して作用する力
- たわみ（deflection）
- 部材が外力などの作用によってわん曲したとき，荷重を受ける前の材軸線と直角方向の変位量
せん断力（shearing force）
はりを先端から $x$ の位置で切断すると，長さ $x$ の部分には図 1 に示すように大きさ $qx$ の荷重が下向きに作用し，これが右側断面に作用するせん断力 $Q$ とつり合っている。
\[ Q = -\int^x_0 q_0 \frac{x}{l}dx = -\frac{q_0}{2l}x^2 \]最大せん断力は，$x=l$ で生じ，その大きさは次式で表される。
\[ Q_{\text{max}} = -\frac{q_0 l}{2} \]せん断力図（SFD）
$q_0$ = 0.1 [N]，$l$ = 1,000 [mm] としたときのせん断力図（SFD：Shearing Force Diagram）を図 2 に示す。三角形状分布荷重を受ける片持ちはりのせん断力は，単純減少する二次関数で表される。
最大せん断力は，$x=l$ で生じ，その大きさは次式で表される。
\[ Q_{\text{max}} = -\frac{q_0 l}{2} = -\frac{0.1 \times 1,000}{2} = -50 \text{ [N]} \]曲げモーメント（bending moment）
曲げモーメントは，図 1 に示すように微小長さ $d\xi$ に作用する大きさ $q \cdot d\xi$ の荷重の点 O に関する曲げモーメントは $q \cdot d\xi \cdot \xi$ であり，これを長さ $x$ について積分したものが右側断面に作用する曲げモーメント $M$ とつり合っている。
\[ M = -\int^x_0 q_0 \frac{x-\xi}{l}\cdot d\xi \cdot \xi = -\frac{q_0}{6l}x^3 \]最大曲げモーメントは，$x=l$ で生じ，その大きさは次式で表される。
\[ M_{\text{max}} = -\frac{q_0 l^2}{6} \]曲げモーメント図（BMD）
$q_0$ = 0.1 [N]，$l$ = 1,000 [mm] としたときの，曲げモーメント図（BMD：Bending Moment Diagram）を図 3 に示す。三角形状分布荷重を受ける片持ちはりの曲げモーメントは，単純減少する三次関数で表される。
最大曲げモーメントは，$x=l$ で生じ，その大きさは次式で表される。
\[ M_{\text{max}} = -\frac{q_0 l^2}{6} = -\frac{0.1 \times 1,000^2}{6} = -16,667 \text{ [N·mm]} \]たわみ（deflection）
はりの先端から 距離 $x$ におけるたわみ $y(x)$ に関する微分方程式は，次式で与えられる。この式は，弾性曲線方程式（elastic curve equation）である。
\[ \frac{\text{d}^2 y(x)}{\text{d}x^2} = -\frac{M}{EI_z} = \frac{q_0}{6EI_z l}x^3 \]ここで，$E$ は縦弾性係数（modulus of longitudinal elasticity）またはヤング率（Young's modulus），$I_z$ ははりの横断面の $z$ 軸に関する断面二次モーメントである。すなわち，この微分方程式は，「たわみの 2 階微分が曲げモーメントを剛性（$EI_z$）で割ったものを負にしたものに等しい」ことを意味する。
片持ちはりの場合，はりを固定する支点は変位しないと考えるため，弾性曲線はたわみ曲線（deflection curve equation）と一致する。
たわみ曲線の微分方程式を順次 $x$（断面の位置）で積分し，たわみ $y$ を求める。
\[ \frac{\text{d}y(x)}{\text{d}x} = \frac{q_0}{6EI_z l}(\frac{x^4}{4} + C_1) \] \[ y(x) = \frac{q_0}{6EI_z l}(\frac{x^5}{20} + C_1 x + C_2) \]ここで，$C_1$，$C_2$ は積分定数であり，はりの境界条件（boundary condition）から決定される。固定端（$x=l$）において，$\text{d}y/\text{d}x=0$ および $y=0$ であるから，これらの境界条件より $C_1$，$C_2$ を求める。
\[ \frac{\text{d}y(l)}{\text{d}x} = \frac{q_0}{6EI_z l}(\frac{l^4}{4} + C_1) = 0 \] \[ C_1 = -\frac{l^4}{4} \] \[ y(l) = \frac{q_0}{6EI_z l}(\frac{l^5}{20} - \frac{l^4}{4} l + C_2) = 0 \] \[ C_2 = \frac{l^5}{5} \]したがって，距離 $x$ におけるたわみ角 $\theta$ とたわみ $y$ は次式となる。
\[ \theta = \frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{q_0}{24EI_z l}(x^4 - l^4) \] \[ y(x) = \frac{q_0}{120EI_z l}(x^5 - 5l^4 x + 4l^5) \]このようにしてはりのたわみを求める方法を重複積分法（double-integration method）という。
たわみは，はりの先端（$x=0$）で最大となり，その大きさ $y_\text{max}$ は次式で求められる。
\[ y_\text{max} = y(0) = \frac{q_0}{120EI_z l}\times 4l^5 = \frac{q_0 l^4}{30EI_z} \]たわみ曲線（deflection curve）
$q_0$ = 0.1 [N]，$l$ = 1,000 [mm]，$E$ = 200,000 [N/mm²]，$I_z$ = 3,000 [mm4] としたときの，たわみ曲線を図 4 に示す。三角形状分布荷重を受ける片持ちはりのたわみ曲線は，単純減少する五次関数で表される。
たわみは，はりの先端（$x = 0$）で最大となり，その大きさは 5.6 [mm] である。
\[ y_{\text{max}}=y(0) = \frac{q_0 l^4}{30EI_z} = \frac{0.1 \times 1,000^4}{30\times 200,000 \times 3,000} = 5.56 \text{ [mm]} \]（補足）SFD，BMD，たわみ曲線のグラフ化
本ページに掲載しているせん断力図（SFD），曲げモーメント図（BMD），たわみ曲線は，Octave により描画した。
Octave で，集中荷重を受ける片持ちはりのせん断力，曲げモーメント，たわみを計算し，SFD，BMD，たわみ曲線をグラフ化するプログラムは，以下のページに掲載している。