サージ現象

サージ伝搬

まず，サージの伝搬について考える。電線路に雷が直撃したとき，電線路には高い周波数の雷撃電流が注入される。架空電線路において，電流（つまりは電子）は，ほぼ光速（約 3 ×10⁸ m/s = 300 m/μs）で伝搬する。一方，電力系統の電線路は 数百 km に及ぶことがあり，高い周波数の雷撃電流では，ある地点とある地点の電流の大きさは異なる。雷や開閉に伴い発生するサージは，高い周波数を有するため，伝搬を考慮しなければならない。このように高い周波数（つまり短い波長）に対して比較しうる程度の長さ，またはそれ以上に長い線路では，分布定数回路として取り扱う。

例えば，雷サージの中心周波数が 500 kHz の場合，伝搬速度を光速と仮定すれば，波長は 600 m となる。一方，商用周波数の 50 Hz では，同じく伝搬速度を光速と仮定すれば，波長は 6,000 km となる。

分布定数回路

長距離送電線路においては，回路定数として抵抗 $R$，インダクタンス $L$ および静電容量 $C$，漏れコンダクタンス $G$ が線路に沿って一様に分布しているものと考える。このように，回路定数が線路の長さ方向に分布した回路を分布定数回路（distributed constant circuit）という。

サージの反射・透過

電線路の特性インピーダンス（サージインピーダンス）が異なる点での，サージの反射（reflection）・透過（permeation）について考える。

特性インピーダンスが $Z_1$ の電線路を伝搬するサージ電圧・電流を $v_1$，$i_1$ とおく。特性インピーダンス $Z_2$ の電線路との接続点で反射するサージ電圧・電流を$v'_1$，$i'_1$，透過するサージ電圧・電流を $v_2$，$i_2$ とおくと，電圧・電流，特性インピーダンスについて，次式が成り立つ。なお，電流については上図の右方向を正としている。

サージ電圧の反射係数と透過係数

サージ電流の式に特性インピーダンスの式を代入すると次式となる。

上式と前述のサージ電圧に関する式 $v_1 + v'_1 = v_2$ より，$v_1$ と $v'_1$ の比で表される反射係数と，$v_1$ と $v_2$ の比で表される透過係数を求める。

サージの反射・透過の例として，$Z_2 = \infty$ （開放端），$Z_2 = Z_1$ （同一線路内），$Z_2 = 0$ （接地端）の反射係数・透過係数を整理すると次表のようになる。

サージ電流の反射係数と透過係数

サージ電圧の式に特性インピーダンスの式を代入すると次式となる。

上式と前述のサージ電流に関する式 $i_1 - i'_1 = i_2$ より，$i_1$ と $-i'_1$ の比で表される反射係数と，$i_1$ と $i_2$ の比で表される透過係数を求める。

サージの反射・透過の例として，$Z_2 = \infty$ （開放端），$Z_2 = Z_1$ （同一線路内），$Z_2 = 0$ （接地端）の反射係数・透過係数を整理すると次表のようになる。

特性インピーダンス

無限長線路の場合には，いかなる地点でも電圧，電流の比は常に $Z_0$ となる。この $Z_0$ を線路の特性インピーダンス（characteristic impedance）という。無限長線路でサージの伝搬を考える場合には，特性インピーダンスをサージインピーダンス（surge impedance）と称す。

サージの伝搬，反射

サージの伝搬，反射について理解を深めるために，長さ 60 km，特性インピーダンス 500 Ω，サージ伝搬速度 300 m/μs の無損失電線路を無負荷充電するときに生じるサージ電圧の伝搬，反射について考える。

開放端と接地端でのサージ電圧の往復反射

電圧の大きさ 1 V の直流電圧源を 1 ms で投入したとき，投入サージは電線路を往復する。電線路の末端に到達したサージ電圧は，開放端であるため正反射し，直流電圧源に戻ってきたサージ電圧は，電源端で負反射する（理想的な直流電圧源の内部抵抗は 0 Ω）。

電源端（0 km），電線路の中間地点（30 km），電線路の末端（60 km）の電圧波形は以下のようになる。

電源端では，スイッチを投入する 1 ms 以降，常に電圧は 1 V で一定である。

電線路の中間地点（30 km）では，スイッチ投入後，0.1 ms （30 km ÷ 300 m/μs）で 1 V の電圧サージが到達する。さらにその 0.2 ms 後（ (30 km + 30 km) ÷ 300 m/μs）に開放端で正反射してきた 2 V のサージ電圧が到達する。それが送電端で負反射してくるとき（さらに 0.2 ms 後）に 1 V に戻り，さらに開放端で反射してくる（さらに 0.2 ms 後）と 0 V となる。これを 0.8 ms 周期（4 片道 × 60 km ÷ 300 m/μs）で繰り返す。

電線路の末端（60 km）では，スイッチ投入後，0.2 ms （60 km ÷ 300 m/μs）で 1 V のサージが到達し，開放端で正反射し，2 V となる。その反射波が電源端で負反射し 0.4 ms （2 片道 × 60 km ÷ 300 m/μs）後に戻ってくると，0 V となる。さらにその 0.4 ms 後には再び 1 V のサージ電圧が到達し，開放端で正反射し，2 V となり，以後，これを 0.8 ms 周期（4 片道 × 60 km ÷ 300 m/μs）で繰り返す。

開放端と接地端でのサージ電圧の往復反射のアニメーションを以下に示す。

（参考）MATLAB や Octave での可視化

MATLAB や Octave を用いて，「開放端と接地端でのサージ電圧の往復反射」を可視化してみた。

可視化するコードを以下に示す。長さ 60 km，特性インピーダンス 500 Ω，サージ伝搬速度 300 m/μs の無損失電線路を無負荷充電するときに生じるサージ電圧の伝搬，反射を可視化する。

clear all;
close all;
%===パラメータ===%
LL=60e3;  %Line Length [m]
c0=3e8;   %Propagation Velocity [m/s]
CFL=1;    %Courant-Friedrichs-Lewy Condition
NX=101;
NT=420;

dx=LL/NX;
dt=CFL*dx/c0;
x=0:dx:dx*(NX-1);

%===サージ電圧の前進波，後進波（初期値 0）===%
VB=zeros(1,NX);
VF=zeros(1,NX);

for T=0:NT
	%===plot による可視化===%
	plot(x/1e3,VB(1,:)+VF(1,:),'b-');
	axis([0,max(x)/1e3,-2.5,2.5]);
	xlabel('x [km]');ylabel('Voltage [kV]');
	title(['T=' num2str(T) '/' num2str(NT) ', t=' num2str(T*dt*1e6) ' \mus']);
	grid on;
	drawnow;

	%===電圧サージの伝搬===%
	VB(1,1:NX-1)=CFL*(VB(1,2:NX)-VB(1,1:NX-1))+VB(1,1:NX-1);
	VF(1,2:NX)=-CFL*(VF(1,2:NX)-VF(1,1:NX-1))+VF(1,2:NX);

	%===開放端，接地端での反射===%
	VB(1,NX)=VF(1,NX);	%開放端での正反射
	VF(1,1)=1-VB(1,1);	%接地端での負反射
end

両開放端でのサージ電圧の往復反射

次に，送電端も受電端もいずれも開放端であったときを考える。電流の大きさ 1 A の直流電流源を 1 ms で投入したのサージ電圧の伝搬を考える（理想的な直流電流源の内部抵抗は $\infty$）。

電源端（0 km），電線路の中間地点（30 km），電線路の末端（60 km）の電圧波形は以下のようになる。

電源端では，スイッチを投入する 1 ms 直後は，サージインピーダンス 500 Ω と電流 1 A の積である 0.5 kV の電圧となる。電流サージが末端で全反射し，さらに電源端でも全反射するスイッチ投入後から 0.4 ms （2 片道 × 60 km ÷ 300 m/μs）には，電流値は 3 A となり，電圧は 1.5 kV となる。以後，0.4 ms 毎に電圧値が 1 kV ずつ上昇していく。（積み上げ現象）

電線路の中間地点（30 km）では，スイッチ投入後，0.1 ms （30 km ÷ 300 m/μs）で 1 A の電流サージが到達し，電圧はサージインピーダンス 500 Ω と電流の積で 0.5 kV となる。この電流サージが電線路の末端で正反射し，中間地点に到達する 0.2 ms （(30 km + 30 km) ÷ 300 m/μs）後，電流は 2 A となり，電圧は 1 kV となる。以後も 0.2 ms 毎に電圧が 0.5 kV ずつ上昇していく。

電線路の末端（60 km）では，スイッチ投入後，0.2 ms （60 km ÷ 300 m/μs）で 1 A のサージ電流が到達し，電圧はサージインピーダンス 500 Ω と電流の積で 0.5 kV となり，それが開放端で正反射し，1 kV となる。この正反射したサージ電流が電線路の末端で正反射し，第 1 のサージ電流到達から0.4 ms （2 片道 × 60 km ÷ 300 m/μs）後，電圧は 2 kV となる。以後も 0.4 ms 毎に電圧が 1 kV ずつ上昇していく。

鉄塔への雷撃と鉄塔塔頂電圧

基本的な現象を説明するために，「発変電所及び地中送電線の耐雷設計ガイド」で用いられる 4 段鉄塔モデルではなく，下図で示す一定のサージインピーダンス $Z_{t1}$（塔頂～アーム部，220 Ω，長さ 9 m），$Z_{t2}$（アーム部～塔脚，150 Ω，長さ 51 m）を持つ分布定数の鉄塔を考える。架空地線のサージインピーダンス $Z_{g}$ は 350 Ω，電力線のサージインピーダンスは $Z_{p}$ は 500 Ω，架空地線と電力線の間の相互サージインピーダンス $Z_{m}$ は 150 Ω，塔脚接地抵抗 $R_{f}$ は 10 Ω とする。

t = 0 μs に下図で示すような 1/70 μs，100 kA の雷撃電流が塔頂に雷撃した場合を考える。

塔頂電圧波形

架空地線のサージインピーダンスを $Z_g$，鉄塔のサージインピーダンスを $Z_t$ とすると，塔頂から見た架空地線と鉄塔の合成インピーダンス $Z$ には，以下の関係が成り立つ。

よって，合成インピーダンス $Z$ は，次式となる。

雷撃電流を $I$ とすれば，雷撃直後，塔頂には直線的に増加する電圧 $IZ$ が発生する。塔頂に生じた電圧は，塔脚へ進行する。もし，塔脚へ向かったサージが戻ってこなければ，塔頂の電圧は $IZ$ で上昇を続け，雷撃電流 $I$ に相似な形となる。

塔頂から塔脚へ向かって進行したサージが塔脚へ到達すると，塔脚接地抵抗 $R_f$ は鉄塔下部のサージインピーダンス $Z_{t2}$ より小さいため，サージ電圧の負反射が生じ，逆極性のサージ電圧となり塔頂へ向かって進行する。

塔脚で反射したサージは，鉄塔の高さ 60 m，サージ伝搬速度 300 m/μs の場合，0.4 μs （2 片道 × 60 m ÷ 300 m/μs）で塔頂へ戻る。雷撃電流の波頭長 1 μs よりも鉄塔内のサージ往復時間が小さいので，塔頂電圧の最大値を減少させる。

塔脚から塔頂へ戻ったサージは，鉄塔上部のサージインピーダンス $Z_{t1}$ と架空地線のサージインピーダンス（鉄塔の両側にあるので $Z_g /2$）の不整合で正反射または負反射し，再び塔脚へ向かって進行する。ただし，この 2 つのサージインピーダンスの比はあまり大きくないので，塔脚へ戻る反射はかなり小さい。

塔頂に発生する電圧値は，ランプ波の雷撃電流を用いた場合，雷撃電流波形の波高値の時点に一致する。その後，塔脚からの反射波の影響を受けて，塔頂電位は減少する。さらに，サージが鉄塔内で往復伝搬を繰り返すうちに急激な変化部分が減少し，等価的なインピーダンスが減少する。この現象によって，塔頂からみた鉄塔は，等価的に小さいなインピーダンスを持つ塔体部と塔脚接地抵抗との直列回路へと変化する。すなわち，塔頂電位は，塔体へ流入する電流と塔脚接地抵抗でほぼ決まる電位（1 000 kV = 10 Ω × 100 kA）へ収束する。

アーム電圧波形

塔頂から塔脚へ向かって進行するサージがアームに到達する時刻 0.03 μs （9 m ÷ 300 m/μs）後から，ほぼ塔頂電圧波形と相似な電圧波形となる。鉄塔の上部と下部でサージインピーダンスを 220 Ω と 150 Ω としたが，塔頂へ戻るサージは小さい（約 2 割が負反射）。

電力線電圧波形

鉄塔塔頂の架空地線には，塔頂電圧と同じ電圧が発生し，電力線にはその架空地線からの誘導により，電圧が生じる。その電圧 $V_p$ は，次式で表される。

電圧波形は，塔頂電圧と相似波形になる。

問題

1. 雷撃電流の大きさ，波尾長は一定とし，波頭長を 0.2 μs，1 μs（基本ケース），2 μs と鉄塔塔頂電圧はどのように変化するか。【問題 1 の解答と解説】
2. 鉄塔の高さを 30 m，60 m（基本ケース），200 m と変えたとき，鉄塔塔頂電圧はどのように変化するか。【問題 2 の解答と解説】
3. 塔脚接地抵抗を 1 Ω，10 Ω（基本ケース），200 Ω と変えたとき，鉄塔塔頂電圧はどのように変化するか。【問題 3 の解答と解説】

避雷器による過電圧抑制

線路 1 から波頭峻度 $s$ [kA/μs] の直線上昇波電圧が進行してきた時の避雷器の効果を考える。避雷器は点 A に設置し，点 A から開放端の点 P までの距離を 30 m とする（線路 2 のサージ片道伝搬時間 $\tau$ は 0.1 μs = 30 m ÷ 300 m/μs）。ただし，単純化するため，線路 1 と線路 2 のサージインピーダンスは等しく，避雷器は制限電圧 $E_a$ の理想避雷器，交流電圧の重畳は加味しない。

線路 1 から線路 2 への透過係数を $\alpha$，線路 2 から線路 1 への透過係数を $\beta$，線路 2 の線路 1 に対する反射係数を $\sigma$ とすると，線路 1 と線路 2 のサージインピーダンスは等しくので，$\alpha = 1$，$\beta = 1$，$\sigma = 0$ である。

避雷器が動作する時間 $t$ までに線路 2 に侵入する電圧 $v$は次式となる。

時刻 2$\tau$ 以前に A 点電圧が $E_a$ に達する場合

時刻 2$\tau$ における A 点電圧が $E_a$ 以上になる条件である。

A 点電圧が $E_a$ になる時刻を $t_a$（$t_a \le 2\tau$）とすると，その時点で線路 2 に侵入する変化分は次式となる。

時刻 $t_a$ 以降は避雷器で A 点電圧が抑制されるので，$st_a$ 以上の電圧は線路 2 に侵入しない。したがって，開放端 P 点の最大電圧 $V_{pm}$ はこの変化分の 2 倍となる。

P 点から A 点に戻った時点では，A 点電圧は避雷器の動作によって $E_a$ に固定されているので，A 点に戻った電圧の変化分をキャンセルするような P 点に戻る電圧が生じる。以上を数値解析した結果を次図で示す。点 A を通過した 1 μs の 0.1 μs後に線路端に電圧サージが到達する。1.16 μs（600 kV ÷ 10 000 kV/μs）以降は，避雷器制限電圧の 2 倍の電圧値 1200 kV で一定となる。1.3 μs から1.36 μsにおいて，A 点からの負反射で電圧が 0 kV まで減少する。1.5 μs から再び電圧の上昇を始め，以後，それを繰り返す。

時刻 2$\tau$ 以前に A 点電圧が $E_a$ に達しない場合

これは時刻 2$\tau$ における A 点電圧が $E_a$ 以下になる条件である。

P 点からの反射波が A 点に戻った以降は，A 点電圧 $e_A$ は線路 1 を進行してきた電圧 $st$，P点から戻ってきた電圧 $s(t-2\tau)$ である。

A 点電圧 $e_A$ が $E_a$ に達する時刻を $t_a$（$t_a \ge 2\tau$）とすると，次の関係が成り立つ。

$s = 2 000$ [kV/μs]，$E_a = 600$ [kV]，$\tau = 0.1$ [μs] を代入すると，$t_a= 2.5$ [μs] となる。

また，P 点ではこの 2 倍の電圧となり，P 点の最大電圧は次の通り。

$t_a$ 以降は増加を続ける線路 1 からのサージによって避雷器は動作を継続し，A 点電圧が $E_a$ に固定される。その結果，$t_a$ 以降 $2\tau$ の間，P 点から A 点に到達する電圧は峻度 $s$ で増加しているので，その間は A 点から P 点に向かう電圧は峻度 $-s$ で減少する。さらに，$t_a+\tau$ から $2\tau$ の間は，この峻度 $-s$ で減少する電圧が P 点から A 点に到達するので，A 点から P 点に戻る電圧は峻度 $s$ で増加する。よって，P 点の電圧波形は次図となる。

問題

1. 避雷器と開放端との間の距離を 10 m，30 m（基本ケース），60 m と変えたとき，開放端電圧はどのように変化するか。【問題 1 の解答と解説】
2. 開放端（基本ケース）ではなく，キャパシタンス 1 000 pF，3 000 pF が存在していた場合，P 点の電圧はどのように変化するか。【問題 2 の解答と解説】
3. 線路 2 をケーブル（サージインピーダンス 30 Ω，伝搬速度 180 m/μs，単位長当たりの抵抗 0 Ω/m）とした場合，開放端 P の電圧波形はどのように変化するか。【問題 3 の解答と解説】
4. 理想的な避雷器を現実的な避雷器とした場合，開放端 P の電圧波形はどのように変化するか。【問題 4 の解答と解説】

参考文献

1. 雷リスク調査研究委員会 発変電雷リスク分科会，「発変電所及び地中送電線の耐雷設計ガイド」，電力中央研究所 総合報告 H06，2012 年 9 月
2. 平山 博，大附 辰夫 著，「電気回路論［2 版改訂］」，電気学会